Conjunto Cantor similar que elimina intervalos abiertos medios de $\alpha$

Question

Si cambio la construcción del conjunto de Cantor, lo que significa que no eliminaré el intervalo abierto de la tercera parte central, sino más bien el intervalo abierto de la tercera parte central con longitud $0<\alpha<1$. Por ejemplo, si elijo eliminar el intervalo abierto de la tercera parte central de $\frac{1}{7}$.

Aquí hay una imagen de tres pasos consecutivos:

Entonces, cada intervalo cerrado tiene una longitud menor que $\frac{1}{2^n}$ en el n-ésimo paso de su construcción. ¿Este tipo de construcción resulta en un conjunto con medida $0$?

Answer 1

Sí lo hace, y por la misma razón: la suma total de la longitud de los intervalos en el paso $n$ forma una secuencia que converge a cero. Para el conjunto de Cantor de tercios medios esa secuencia es $\left( \frac{2}{3} \right)^n$. Para tu conjunto de Cantor de séptimos medios esa secuencia es $\left( \frac{6}{7} \right)^n$, y para un $\alpha$ general esa secuencia es $(1-\alpha)^n$.