¿Cómo factorizar $\frac{27}{125}a^6b^9-\frac{1}{64}c^{12}$?

Question

Estoy atascado con lo siguiente:

$\frac{27}{125}a^6b^9-\frac{1}{64}c^{12}$

Mi idea fue/es la siguiente:

$\frac{3^3a^6b^9}{5^3}-\frac{c^{12}}{8^2}$

El problema es que no sé hacia dónde ir desde aquí. Si sigo a través de la denominador común más bajo para $5^3$ y $8^2$ obtendré 8000 en el denominador y números altos en el numerador, lo cual creo que no es el punto aquí con la factorización. Idealmente, conseguiría algo como $(3a^3b^3)^2$ en el primer numerador pero para toda la expresión, por supuesto. Tal vez lo he estado mirando durante demasiado tiempo, por lo que he perdido perspectiva, pero herramientas de ayuda habituales como wolfram y symbolab no son de mucha ayuda.

Answer 1

Usa $x^3-y^3=(x-y)(x^2+xy+y^2)$

$\frac{27}{125}a^6b^9-\frac{1}{64}c^{12} =\left(\frac{3a^2b^3}{5}\right)^3-\left(\frac{c^4}{4}\right)^3$.

Ahora, sea $x=\frac{3a^2b^3}{5}$ y $y=\frac{c^4}{4}$ y usa esa factorización para obtener $[\frac{3a^2b^3}{5}-\frac{c^4}{4}][\frac{9a^4b^6}{25}+\frac{3a^2b^3c^4}{20}+\frac{c^8}{16}]$