Encuentra el límite inferior de la secuencia

Question

Encuentra el límite infimo de la sucesión $a_{n}$ dada por

$a_{n} = \frac{n}{12^{\lceil n\times \log_{12}n \rceil}}$

Intenté hacerlo usando $n=12^{k}$ pero me confundí.

Cualquier ayuda será apreciada. Gracias

Answer 1

Su sustitución $n=12^k,\thinspace n>0$ nos da,

$$0a_k=12^{\lceil k-k12^k\rceil}12^{k-k12^k+1}$$

Luego nota que, si $k\to+\infty$ (correspondiente a $n\to+\infty$) obtenemos $k(1-12^k)+1\to-\infty$. Por lo tanto, tenemos

$$\liminf \left\{\lceil12^{k-k12^k\rceil}\right\}=0$$

Esto implica,

$$\liminf \left\{ \frac{n}{12^{\lceil n\log_{12}n \rceil}}\right\}=0.$$