Un pasaje de Álgebra X de Bourbaki dice,
"... la homotecia de razón $a_1$ en $\oplus_{i\geq0}I^iM/I^{i+1}M$ es inyectiva,..."
Aquí $M$ es un $A$-módulo y $I=(a_1,\ldots,a_n)\subset A$. Según Google Translate, "homotecia" significa "homothety" en inglés, lo cual nunca he escuchado. ¿Estoy viendo algo nuevo, o simplemente perdido en la traducción? ¿Qué significa la frase?
Para ampliar el comentario de Pierre-Yves Gaillard arriba:
Toma la filtración de $ M $ por potencias de $ I $, y forma la suma directa como se da tomando sucesivos cocientes. Cada sumando es un cociente de submódulos de $ M $, y por lo tanto sigue siendo un módulo $ A $; por lo tanto, también lo es $\oplus_{i \geq 0} I^iM/I^{i+1}M$. En particular, la multiplicación por $ a_1 $ da una transformación lineal en $\oplus_{i \geq 0} I^iM/I^{i+1}M.
A veces se usa la palabra homotecia para describir tal transformación lineal. Ver, por ejemplo, la prueba de la proposición 1.1.2 en "Cohen Macaulay Rings" de Bruns y Herzog (Edición revisada) (pg.4).
La ventaja de esta frase es que esta transformación es inyectiva. Por lo tanto, si $ x \in \oplus_{i \geq 0} I^iM/I^{i+1}M $ y $ a_1x = 0 $ entonces $ x = 0 $.
En la literatura de álgebra conmutativa a veces se dice en esta situación que $ a_1 $ es regular en $\oplus_{i \geq 0} I^iM/I^{i+1}M$, (siempre que la homotecia no sea sobreyectiva).
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