Un problema en la Media Teorema del Valor

Question

Si $f''(x)$ existe en $[a,b]$$f'(a)=f'(b)$, entonces :

$$f(\frac{a+b}{2})=\frac 1 2[f(a)+f(b)]+\frac{(b-a)^2}{8}f''(c)$$

para algunos $c\in(a,b)$.

Lo intenté, pero era incapaz de pensar en una función y era incapaz de usar la condición dada, excepto para el Teorema de Rolle, que no produce nada útil(todavía).

Cualquier sugerencias o ayuda será apreciada.

Answer 1

existe $x_0$ $y_0$ $[a,b]$ tal que

\begin{align} f(a) = f(\frac{a+b}{2}) + f'(\frac{a+b}{2})(a - \frac{a+b}{2}) + \frac{1}{2}f''(x_0)(a-\frac{a+b}{2})^2 \\ f(b) = f(\frac{a+b}{2}) + f'(\frac{a+b}{2})(b - \frac{a+b}{2}) + \frac{1}{2}f''(y_0)(b-\frac{a+b}{2})^2 \end{align}

Multiplicando por $\frac{1}{2}$ y combinando estas dos ecuaciones da \begin{align} f(\frac{a+b}{2}) = \frac{1}{2}[f(a) + f(b)] - \frac{f''(x_0) + f''(y_0)}{2}\frac{(a-b)^2}{8} \end{align}

Uso del teorema de Darboux para encontrar una $c \in [a,b]$, de tal manera que $f''(c) = \frac{f''(x_0) + f''(y_0)}{2}$

La parte de arriba $\textbf{didn't}$ el uso de la suposición de $f'(a) = f'(b)$, por lo tanto la conclusión es diferente, en lugar de + , tengo una -. Yo correcta en las siguientes:

existe $x_1$ $y_1$ $[a,b]$ tal que

\begin{align} f(\frac{a+b}{2}) = f(a) + f'(a)(\frac{a+b}{2} - a) + \frac{1}{2}f''(x_1)(a-\frac{a+b}{2})^2 \\ f(\frac{a+b}{2}) = f(b) + f'(b)(\frac{a+b}{2} - b) + \frac{1}{2}f''(y_1)(b-\frac{a+b}{2})^2 \end{align}

Desde $f'(a) = f'(b)$, multiplicando por $\frac{1}{2}$ y combinando estas dos ecuaciones da \begin{align} f(\frac{a+b}{2}) = \frac{1}{2}[f(a) + f(b)] + \frac{f''(x_1) + f''(y_1)}{2}\frac{(a-b)^2}{8} \end{align}

El mismo teorema permite obtener la conclusión.

Answer 2

Por el MVT para dividir las diferencias de la espaciados uniformemente "discretos" aproximación a la derivada segunda es igual a la real segunda derivada en algunos $c\in(a,b)$. Tenemos $$f''(c)=\frac{\dfrac{f(b)-f\left({a+b\over 2}\right)}{(b-a)/2}-\dfrac{f\left({a+b\over 2}\right)-f(a)}{(b-a)/2}}{(b-a)/2}=\frac{4}{(b-a)^2}\left[f(a)+f(b)-2f\left({a+b\over 2}\right)\right]$$ Therefore $$f\left({a+b\over 2}\right)=\frac 1 2[f(a)+f(b)]-\frac{(b-a)^2}{8}f''(c)$$ parece que tengo un signo negativo delante de la pasada legislatura, como lo hizo Liu Gang. Puede haber un error en la pregunta.