¿Por qué hay tanto interés en el estudio de $\operatorname{Gal}\left(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q\right)$?

Question

Comencemos con una cita simple de Wikipedia:

"No se conoce una descripción directa para el grupo de Galois absoluto de los números racionales. En este caso, se sigue del teorema de Belyi que el grupo de Galois absoluto tiene una acción fiel en los dibujos de enfants de Grothendieck (mapas en superficies), permitiéndonos "ver" la teoría de Galois de los campos de números algebraicos."

¿Qué significa exactamente Wikipedia con "una descripción directa" de $\operatorname{Gal}\left(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q\right)$?

Parece que el grupo absoluto de los racionales es muy importante en matemáticas, de hecho hay varias herramientas de geometría algebraica con las que intentamos estudiarlo (estoy midiendo la importancia de un objeto simplemente estimando la cantidad de esfuerzos invertidos en investigaciones sobre su naturaleza). Pero ¿por qué darle tanta importancia a este objeto en particular? Por ejemplo, ¿por qué $\operatorname{Gal}\left({\overline K}/K\right)$, donde $K$ es un campo genérico, no es tan "hermoso" como $\operatorname{Gal}\left(\overline{\mathbb Q}/\mathbb Q\right)$?

Gracias de antemano.

Answer 1

El campo de los números racionales $\Bbb Q$ suele ser el primer campo con el que uno se encuentra, por lo que extensiones de $\Bbb Q$ como $\Bbb Q(i)$ o $\Bbb Q(\sqrt 2)$ son las primeras manifestaciones de grupos de Galois con los que uno se encuentra.

Incluso entonces, los siguientes campos básicos son los campos finitos $\Bbb F_p$ (de los cuales $Gal_{\Bbb F_p}(\overline{\Bbb F_p})$ se entiende bien), y luego campos locales como $\Bbb Q_p$ (cuyo grupo de Galois absoluto es un poco más complicado, pero aún "simple").

Aunque no mucho puede suceder en campos finitos o locales, la teoría de Galois de campos globales ($\Bbb Q, \Bbb F_p(X), \Bbb C(X), \ldots$) es mucho más rica.

Cuando comienzas a estudiar extensiones de campo de $\Bbb Q$ sin teoría de Galois, surgen preguntas "difíciles" como "bien, si agrego una raíz de $-1$ o una raíz de $2$ obtengo una extensión de grado $2$, ¿pero qué sucede si agrego ambas a la vez? ¿Cómo puedo saber que $\sqrt 2 \notin \Bbb Q(i)$ o viceversa?", o incluso más difícil, "¿cómo puedo saber que $\sqrt {11} \notin \Bbb Q(\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt 5,\sqrt 7)$?" (puedes encontrar ese tipo de preguntas en este sitio web).
La respuesta general a estas preguntas depende de entender el grupo de Galois de $\Bbb Q(\sqrt{-1},\sqrt 2,\sqrt 3,\sqrt 5,\ldots)$, y puedes traducir esto en términos del grupo de Galois absoluto al dar una descripción explícita de $\hom(Gal_\Bbb Q(\overline {\Bbb Q}), \Bbb Z/2\Bbb Z)$.

Un tipo de pregunta muy relacionada es qué sucede localmente en extensiones de campos globales, o "¿qué factores primos hay en $\Bbb Q(\sqrt 7)$?" y más generalmente "¿cómo se factorizan los primos de $K$ en primos de $L$ en una extensión algebraica $K \subset L$?". Para nuestras extensiones cuadráticas, esto se resume en la ley de reciprocidad cuadrática de Gauss (un resultado que parecía increíble cuando lo escuché por primera vez).

Un teorema de Kronecker dice que toda extensión abeliana de $\Bbb Q$ está en una extensión ciclotómica. Si entendemos las extensiones ciclotómicas (y las entendemos), entonces entendemos los morfismos de $G$ a grupos abelianos finitos, lo que significa que entendemos la abelianización de $G$. Para resumir, $\Bbb Q \subset \Bbb Q(\zeta_n)$ tiene un grupo de Galois $(\Bbb Z/n\Bbb Z)^*$, y sabemos cómo se comporta un primo $(p)$ en la extensión al observar lo que hace $p$ (elegimos el generador positivo) módulo $n$ en ese grupo.

Un gran logro del siglo XX fue generalizar este resultado a cualquier campo global, especialmente campos numéricos distintos de $\Bbb Q$, por lo que tenemos una descripción "agradable" de $G^{ab}$ y un mapa de reciprocidad $\{primes\}\to G^{ab}$.

Con todo esto podemos responder nuevas preguntas como "¿Pero cómo sé que $\sqrt[3]{11} \notin \Bbb Q(\sqrt[3]2, \sqrt[3]3, \sqrt[3]5, \sqrt[3]7)?$" o "¿cuándo es $2$ un cubo módulo $p$? porque esto se trata de extensiones abelianas de $\Bbb Q(\sqrt{-3})$

Hasta ahora entendemos muy bien los morfismos (representaciones) de los grupos de Galois absolutos en grupos abelianos finitos. La pregunta sobre representaciones en grupos más complicados es un área de investigación activa y una respuesta sobre esos nos daría herramientas para responder fácilmente más de ese tipo de preguntas "simples".

Por ejemplo, si $f(a)$ es la raíz positiva de $x^5-x-a$, no creo que tengamos una respuesta fácil para "¿Pero cómo puedo mostrar que $f(5) \notin \Bbb Q(f(1), f(2), f(3), f(4))$?"

Answer 2

Advertencia: No soy experto en este campo, así que adéntrate bajo tu propio riesgo.

Generalmente, el principal interés que surge en el estudio de $\Gamma = \text{Gal}(\overline{\Bbb Q}/\Bbb Q)$ es de naturaleza representativa. El estudio de representaciones finitas de $\Gamma$ en grupos lineales generales $GL_n(\Bbb F)$ es de considerable interés en la teoría de números. Por ejemplo, si tomas una curva elíptica $E$ sobre $\overline{\Bbb Q}$, entonces $\Gamma$ actúa sobre los puntos de $E$ mediante automorfismos. Por lo tanto, también actúa sobre los puntos de $p$-torsión de $E(\overline{\Bbb Q})$ (es decir, los puntos de orden $p$ en $E$). Sin embargo, hay que tener en cuenta que los puntos de $p$-torsión de $E$ forman el grupo $\Bbb Z/p \times \Bbb Z/p$. Por lo tanto, esto nos da una representación de $\Gamma$ en $\text{Aut}(\Bbb Z/p \times \Bbb Z/p) \cong GL_2(\Bbb F_p)$. Así que vemos que con cualquier curva elíptica racional hay una representación de Galois adjunta. Más sorprendente es que representaciones similares surgen de algunas formas modulares, y la conexión formal entre ellas fue demostrada por Wiles, lo que finalmente llevó a la demostración del Último Teorema de Fermat. Desafortunadamente, no sé absolutamente nada sobre todo eso para siquiera hablar de una idea aproximada aquí.

Un tipo diferente de interés se ve entre los algebraístas con respecto a $\Gamma$. No sabemos esencialmente nada sobre este grupo $\Gamma excepto las definiciones. Entonces una cosa que podríamos hacer probablemente es dar una presentación explícita de $\Gamma$ en términos de generadores que satisfacen relaciones pequeñas y agradables. Conocemos explícitamente la abelianización ${\Gamma}^{ab} = \text{Gal}(\Bbb Q^{ab}/\Bbb Q)$ de $\Gamma$ a partir del teorema de Kronecker-Weber, que establece que ${\Gamma}^{ab}$ es el grupo de Galois de $\Bbb Q$ adjunto con todas las raíces de la unidad sobre $\Bbb Q$. La conjetura de Shafarevich afirma que la otra parte de $\Gamma$, es decir, $\text{Gal}(\overline{\Bbb Q}/\Bbb Q^{ab})$, es un grupo profinito libre de rango finito. Los estudios de $\Gamma$ en contextos algebraicos se centran principalmente en resolver la conjetura Galois inversa sobre $\Bbb Q$, que sostiene que cada grupo finito aparece como un grupo Galois sobre $\Bbb Q, es decir, aparece como un cociente de $\Gamma$. Esto se ha resuelto para grupos solubles por Shafarevich. El problema Galois inverso también se ha considerado para campos generales. Sabemos que se cumple para campos como $\Bbb C(z)$. La razón por la que aún no se ha resuelto para $\Bbb Q$ o similares es que los campos numéricos no son el mejor lugar para la geometría algebraica - creo que eso es lo que la teoría en gran parte conjetural de $\Bbb F_1$ está tratando de solucionar - así que muchas de las cosas que son obvias para campos como $\Bbb C(z)$, que en realidad son campos de funciones de variedades proyectivas complejas, no se aplican en este contexto, y eso es lo que hace que el grupo de Galois absoluto $\Gamma$ sea "especial".

Otro aspecto bastante interesante de estudiar $\Gamma$ (precisamente el que se menciona en el fragmento de wikipedia que has citado) es otro descubrimiento de Grothendieck. $\Gamma$ es un objeto puramente aritmético, y los geométricos algebraicos siempre quieren "ver" un poco a través de los objetos aritméticos. La teoría de los dessins de Grothendieck permite "ver" el grupo de Galois absoluto $\Gamma$. Elija su curva algebraica favorita sobre $\overline{\Bbb Q}$. El teorema de Belyi establece que dicha curva algebraica siempre se puede realizar como una superficie de Riemann compacta sobre $\Bbb P^1$ ramificada solo en $\{0, 1, \infty\}$. El dessin d'enfant de la curva correspondiente se construye tomando la preimagen de $[0, 1]$ bajo el mapa de cobertura desde la superficie de Riemann hacia $\Bbb P^1$ y marcando los puntos en la preimagen de $0$ como blancos, los puntos en las preimágenes de $1$ como negros y los componentes conectados en las preimágenes de $(0, 1)$ como aristas uniendo los nodos. Bajo la acción de $\Gamma$, las curvas algebraicas se permutan y, por lo tanto, hay una acción fiel de $\Gamma$ en la colección de todos los dessins. Esto es esencialmente equivalente a decir que hay una acción fiel de $\Gamma$ en el grupo fundamental pro(etale) $\widehat{\pi_1}(\Bbb P^1 \setminus \{0, 1, \infty\})$, es decir, la completación profinita del grupo fundamental del espacio. Esto significa que hay una representación inyectiva $\Gamma \to \text{Aut}(\widehat{\pi_1}(\Bbb P^1 \setminus \{0, 1, \infty\}))! Se puede probar que $\Gamma$ no solo actúa fielmente sobre la colección de dessins, sino también sobre la colección de dessins de género $1$ así como sobre la colección de dessins de género $0! Si ahora $\mathcal{M}$ es el espacio de móduli de curvas algebraicas de género $0$ con puntos marcados, entonces tenemos, de manera similar, una representación fiel $\Gamma \to \text{Aut}(\widehat{\pi_1}(\mathcal{M}))$. Creo que el grupo posterior se llama el grupo de Grothendieck-Teichmuller $\widehat{GT}$. Este grupo tiene una interpretación braquial (que no conozco) así como una presentación explícita (esto se menciona en el trabajo de Drinfeld), y la última vez que comprobé, sigue siendo una conjetura abierta que $\Gamma \cong \widehat{GT}.

Answer 3

Una descripción directa significa algún tipo de presentación, donde podemos escribir explícitamente cómo son los elementos y cómo componerlos. Por ejemplo, para primos impares el grupo de Galois absoluto de $\Bbb Q_p$ puede ser dado una presentación explícita con generadores y relaciones. O por ejemplo el grupo ${\rm Gal}(\overline{\Bbb F_p}/\Bbb F_p)\cong\widehat{\Bbb Z}$ (canónicamente a través de Frobenius), los enteros pro-finitos, que por el Teorema Chino del Resto se pueden descomponer como vectores de $\prod \Bbb Z_p$, y los enteros $p$-ádicos de $\Bbb Z_p$ tienen expansiones $p$-ádicas explícitas.

Dado que $\Bbb Z$ y $\Bbb Q$ son donde comenzó toda la teoría de números, tiene sentido dar especial importancia al grupo de Galois $G={\rm Gal}(\overline{\Bbb Q}/\Bbb Q)$, aunque sea por razones sentimentales. Esencialmente es el grupo de simetría completo de los números mismos, donde la estructura preservada es la verdad de las ecuaciones polinómicas.

Otros campos tienen solo sombras de esta simetría (campos de números algebraicos), son solo "similar a números" por tener propiedades análogas (campos de funciones globales) o solo por ser un campo, o involucran trascendentales que evitan ecuaciones polinómicas (como $\Bbb C$ tomado como un todo). Aunque la comprensión y experiencia moderna con la propagación de la teoría de números más allá de solo "números" nos informa que podríamos dar igual importancia a otros grupos de Galois y considerarlos igual de bellos, tenemos un lugar especial en nuestros corazones para los números sobre sus primos.

Answer 4

Puede que te interese la teoría de Dessins d'Enfants, que son una herramienta para estudiar $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$.

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De la entrevista con Richard Taylor y Scott Sheffield.

¿CUÁNTO TIEMPO LLEVAS EN HARVARD?

Poco más de dos semanas.

¿DE DÓNDE ERES?

Pasé la mayor parte de mi carrera en Cambridge, pero el año pasado me mudé a Oxford por un año antes de venir aquí. Antes estuve un año como post-doc en París, hice un doctorado en Princeton y fui estudiante en Cambridge.

¿CUÁLES SON TUS PRINCIPALES INTERESES E INVESTIGACIONES?

El gran problema que me motiva es entender el grupo de Galois absoluto de los números racionales, es decir, el grupo de todas las automorfismos del campo de los números algebraicos (números complejos que son las raíces de polinomios no nulos con coeficientes racionales). Si quieres, puedes hablar sobre todos los grupos de Galois de extensiones finitas de los números racionales, pero esta es una forma conveniente de reunirlos a todos. No hace mucha diferencia, pero técnicamente es más limpio agruparlos a todos. La pregunta que ha motivado casi todo lo que he hecho es: "¿Cuál es la estructura de ese grupo?" Uno de los grandes logros de los matemáticos de la primera mitad de este siglo se llama teoría de cuerpos de clases, y una forma de verla es como una descripción de todos los cocientes abelianos del grupo de Galois absoluto de Q, o si prefieres, la clasificación de las extensiones abelianas del campo de los números racionales. Eso es solo una parte muy pequeña de este grupo. El grupo es extremadamente complicado y describir solo la parte abeliana no resuelve el problema. Por ejemplo, John Thompson demostró que el grupo monstruo es un grupo cociente de este grupo de infinitas maneras.

Reunimos que muchas personas ven $\mathrm{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ como una generalización de la Teoría de Cuerpos de Clases.