Derivación del operador de momento total QFT

Question

La expansión del campo de Klein Gordon y el campo de momento conjugado son

$\hat{\phi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, \frac{1}{ \sqrt{2 E_{k}}} \left( \hat{a}_{k} + \hat{a}^{\dagger}_{-k} \right) e^{i k \cdot x}$

y

$\hat{\pi}(x) = \int \frac{d^3k}{(2 \pi)^3} \, \sqrt{\frac{E_{k}}{2}} \left( \hat{a}_{k} - \hat{a}^{\dagger}_{-k} \right) e^{i k \cdot x}$

El momento total en el campo clásico está dado por

$P^{i} = -\int d^3x \, \pi(x) \, \partial_{i} \phi(x)$

lo que se promueve a un operador

$\hat{P}^{i} = -\int d^3x \, \hat{\pi}(x) \, \partial_{i} \hat{\phi}(x)$

Se nos dice que al colocar la expansión en esto debería resultar en

$\int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \, p^i \left( \hat{a}_{p}^{\dagger} \hat{a}_{p} + \frac12 (2\pi)^3 \delta^{(3)}(0) \right)$

lo cual obtengo, sin embargo, también obtengo términos que involucran $\hat{a}_{p}\hat{a}_{-p}$ y $\hat{a}^{\dagger}_{p} \hat{a}^{\dagger}_{-p}$. ¿Cómo es posible que estos términos desaparezcan? ¿He cometido un error en las matemáticas (soy propenso a cometer errores en este momento... bastante cansado) o hay alguna forma en que esos términos se cancelen?

Answer 1

Los dos integrandos $p^i\hat{a}_{{\bf p}}\hat{a}_{-{\bf p}}$ y $p^i\hat{a}^{\dagger}_{{\bf p}}\hat{a}^{\dagger}_{-{\bf p}}$ son antisimétricos respecto a ${\bf p} \leftrightarrow -{\bf p}$. Por lo tanto, las integrales correspondientes $\int d^3p(\ldots )$ son cero.