Se nos da:
$$u(x, y)=\begin{cases} xy \frac {x^2-y^2}{x^2+y^2}, ~(x, y) \ne (0,0)\\\\ ~0, ~~~~~(x, y) = (0,0)\;. \end{cases}$$
Voy a multiplicar el numerador para facilitar los cálculos, entonces tenemos:
$$\tag 1 u(x, y)=\begin{cases} \frac {x^3y - xy^3}{x^2+y^2}, ~(x, y) \ne (0,0)\\\\ ~0, ~~~~(x, y) = (0,0)\;. \end{cases}$$
Se nos pide:
-
(a) Encontrar: $\displaystyle \frac {\partial u} {\partial x} (x,y) ~\forall x~ \in \Bbb R^2$
-
(b) Encontrar: $\displaystyle \frac {\partial u} {\partial y} (x,y) ~\forall x~ \in \Bbb R^2$
-
(c) Mostrar que $ \displaystyle \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} (0,0) \neq \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial x} (0,0)$
-
(d) Verificar, usando coordenadas polares, que $\displaystyle \frac {\partial u}{\partial x} \text{y} \frac {\partial u}{\partial y} $ son continuas en $(0,0)$
Usando $(1)$, para la parte $(a)$, obtenemos:
$\tag 2 \displaystyle \frac{\partial u} {\partial x} (x,y) = \frac{(3x^2y- y^3)(x^2+y^2) - 2x(x^3y - xy^3)}{(x^2 + y^2)^2} = \frac{x^4y + 4x^2y^3-y^5}{(x^2+y^2)^2}$
Usando $(1)$, para la parte $(b)$, obtenemos:
$\tag 3 \displaystyle \frac{\partial u} {\partial y} (x,y) = \frac{(x^3-3xy^2)(x^2+y^2) - 2y(x^3y - xy^3)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{x^5 - 4x^3y^2-xy^4}{(x^2+y^2)^2}$
Luego, necesitamos parciales mixtas, entonces usando $(2)$, tenemos:
$ \tag 4 \displaystyle \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} (x, y) = \frac{(x^4+ 12x^2y^2-5y^4)(x^2+y^2)^2 - 2(x^2+y^2)(2y)(x^4y + 4x^2y^3-y^5)}{(x^2+y^2)^4} = \frac{x^6 + 9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3} = \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial x} (x, y)$
Por lo tanto, obtenemos:
$$\tag 5 \displaystyle \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} (x, y) = \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial x} (x, y) = \begin{cases} \frac{x^6 + 9x^4y^2-9x^2y^4-y^6}{(x^2+y^2)^3}, ~(x, y) \ne (0,0)\\\\ ~~~~0, ~~~~~~(x, y) = (0,0)\;. \end{cases}$$
Ahora, para la parte $(c)$, queremos mostrar que $ \frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} (0,0) \neq \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial x} (0,0)$, entonces necesitamos encontrar los límites de cada parcial mixta.
Obtenemos:
$ \tag 6 \displaystyle \frac{\partial^2 u} {\partial x \partial y} (0,0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{\partial u}{\partial x} (0, h) - \frac{\partial u}{\partial x} (0, 0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-h^5/h^4}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{-h}{h} = -1$, y
$ \tag 7 \displaystyle \frac{\partial^2 u} {\partial y \partial x} (0,0) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{\frac{\partial u}{\partial y} (h, 0) - \frac{\partial u}{\partial y} (0, 0)}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h^5/h^4}{h} = \lim\limits_{h \to 0} \frac{h}{h} = +1$
$\therefore$, para la parte $(c)$, hemos demostrado que:
$$\frac {\partial^2 u} {\partial x \partial y} (0,0) \neq \frac {\partial^2 u} {\partial y \partial x} (0,0)$$
como se deseaba.
¿Puedes ocuparte de la parte $(d)$?
Sin otro particular,
Saludos
