Identificación de grupos isomórficos a través de sus presentaciones

Question

Tengo tres productos semidirectos, dos de los cuales creo que son isomorfos. Sus presentaciones son

\begin{align} &\langle a, b \mid a^4 = b^{17} = 1, aba^{-1} = b^4\rangle\\ &\langle a, b \mid a^4 = b^{17} = 1, aba^{-1} = b^{13}\rangle\\ &\langle a, b \mid a^4 = b^{17} = 1, aba^{-1} = b^{16}\rangle \end{align}

Creo que los dos primeros de estos tres son isomorfos ya que $13^4 \equiv 4^4 \equiv 1 \bmod 17$, mientras que $16^2 \equiv 1 \bmod 17$, por lo que las relaciones de conjugación $aba^{-1} = b^4$ y $aba^{-1} = b^{13}$ pueden ser representadas de manera equivalente por la relación $(aba^{-1})^2 = b^{16}$, mientras que la relación $aba^{-1} = b^{16}$ da $(aba^{-1})^2 = b$. ¿Es suficiente concluir que los dos primeros grupos son isomorfos mientras que el último grupo es distinto de los demás?

Answer 1

Dado que $aba^{-1} = b^4 \Leftrightarrow a^{-1}ba = b^{-4}= b^{13}$, hay un isomorfismo entre los primeros dos grupos con $a \mapsto a^{-1}$, $b \mapsto b$.

Para demostrar que los grupos definidos por las primeros y terceras presentaciones no son isomorfos, podrías (por ejemplo) observar que ambos tienen subgrupos únicos $\langle a^2,b \rangle$ de índice $2$ y que este es el grupo diedral para la primera presentación y un grupo abeliano para la segunda. De manera equivalente, el tercer grupo tiene elementos de orden $34$, y el primero no.