¿Es posible crear un número entero completamente al azar entre 1 y 13 usando estándar dados en un juego de dados de D & D?

Question

Me estoy preguntando si es posible elegir un número entero aleatorio comprendido el uso de un determinado conjunto de dados. Asumir por parte de estos cálculos que los dados están perfectamente distribuidos al azar. Hay 7 dados en un conjunto, con los siguientes resultados posibles para cada uno de los dados:

2, 4, 6, 8, 10, 12, y 20

Usted es libre de interpretar los resultados como cualquier valor que desee.

Los dados se puede rodar en cualquier orden, la combinación o la cantidad deseada.

El objetivo es tener 13 resultados posibles, perfectamente aleatoria y uniformemente distribuidos.

Answer 1

Esto es imposible si requieren que se hubiere fijado un límite superior en el número de tiradas posibles: en este caso, la única probabilidades que usted puede conseguir son de la forma $\frac{n}{m}$ donde $m$ es un producto de los números $2, 4, 6, 8, 10, 12, 20$, y, en particular, no puede ser divisible por $13$.

Esto es sencillo si no requieren un fijo límite superior: como se mencionó en los comentarios, puede descartar y volver a enrollar. Esta estrategia, al igual que cualquier estrategia exitosa, necesariamente tiene la propiedad de que es posible que usted tendrá que volver a lanzar de forma arbitraria muchas veces. Pero la probabilidad es exponencialmente en descomposición así que no es realmente un problema.

Edit: Una interesante pregunta de seguimiento podría ser la de encontrar una estrategia que minimiza el número esperado de rollos. Supongamos que usted tiene una estrategia que involucra $n$ rollos por iteración, con una probabilidad de p $$ de éxito en cada iteración (y la probabilidad de $1 - p$ de la necesidad de volver a lanzar). A continuación, el número esperado de rollos resulta ser $E = \frac{n}{p}$. Así, la comparación de las estrategias que se han propuesto hasta ahora:

• Travis $4$ y 10 $de$ la estrategia tiene $n = 2, p = \frac{39}{40}$, entonces $E = \frac{80}{39} \approx 2.05$.
• Amitai $20$ estrategia tiene $n = 1, p = \frac{13}{20}$, entonces $E = \frac{20}{13} \approx 1.54$.
• M. del Viento "todos los dados" estrategia tiene $n = 7, p = \frac{921596}{921600}$, entonces $E = \frac{6451200}{921596} \approx 7.00$.

Amitai de la estrategia es, de hecho, la única estrategia posible con un número esperado de rollos de menos de us $2$ (así que me tome de nuevo lo que he dicho acerca de lo que requieren más rollos de Travis!), aunque uno podría calcular y comparar la varianza de la cantidad de rollos así...

Answer 2

Usted podría utilizar todos los siete dados en un lanzamiento. Esto le da a usted $2 * 4 * 6 * 8 * 10 * 12 * 20 = 921600$ los resultados posibles. Luego, se necesita un procedimiento para asignar a cada resultado, un número único. Esto permite distribuir los resultados a $13$ grupos de igual tamaño. No es difícil hacerlo.

Tenga en cuenta que el múltiplo de $13$ que es más cercano (el de abajo) a $921600$ es $921596 = 70892 * 13$. Esto significa que sólo en $4$ de los casos de $921600$ tendría que rechazar el resultado y tirar los dados de nuevo. La probabilidad de que esto suceda es de $1$ en $230400$.

Answer 3

1) Usted podría rodar d20 y lanzar algo más de 13. Así que a veces es lanzar una o dos veces. (~96% del tiempo que se tarda no más de dos a lanzar para obtener un resultado)

2) usted podría rodar dos (distinguibles) d12s ('regular' y 'especial', dicen), junto

• si los dos dados muestran "12", rebollo tanto
• si sólo el especial de morir es de 12, el resultado es "13"
• si el especial de morir es no 12, utilizar el resultado en la regular morir

(Esto funciona especialmente bien si al menos uno de los d12 tiene un muy distinguible 12 de la cara; si sólo uno hace, lo utilizan como la especial morir)

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En respuesta a la solicitud de aclaración de por qué el segundo método es el correcto:

Tenga en cuenta que $12\times 12=144 = 11\times 13+1$. Así que si podemos asignar el 144 resultados de rodar dos de 12 caras de los dados para el 13 resultados que queremos llegar cada 11 de la 144 resultados con una izquierda más - entonces vamos a tener una distribución uniforme discreta en $1,\ldots,13$.

Así, el paso 1 es sacar el 144 opción; (12,12).

También hemos quieren leer un dado para obtener un número mayor parte del tiempo. Así que quiero hacer uno de los dados tomar su valor nominal 11x12 veces (es decir, cuando el otro muere no muestra 12). Los restantes 11 veces (cuando se hace el show de las 12, pero el otro no), a continuación, toma el último valor. Así:

          special die
       1    2    3    4    5    6    7    8    9   10    11 :  12 
reg.______________________________________________________________
 1 |   1    1    1    1    1    1    1    1    1    1     1 :  13 
 2 |   2    2    2    2    2    2    2    2    2    2     2 :  13 
 3 |   3    3    3    3    3    3    3    3    3    3     3 :  13 
 4 |   4    4    4    4    4    4    4    4    4    4     4 :  13 
 5 |   5    5    5    5    5    5    5    5    5    5     5 :  13 
 6 |   6    6    6    6    6    6    6    6    6    6     6 :  13 
 7 |   7    7    7    7    7    7    7    7    7    7     7 :  13 
 8 |   8    8    8    8    8    8    8    8    8    8     8 :  13 
 9 |   9    9    9    9    9    9    9    9    9    9     9 :  13 
10 |  10   10   10   10   10   10   10   10   10   10    10 :  13 
11 |  11   11   11   11   11   11   11   11   11   11    11 :  13 
12 |  12   12   12   12   12   12   12   12   12   12    12 : Reroll

Como podéis comprobar, cada uno de los números del 1:13 aparece 11 veces en la tabla.

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d11

Usted también puede hacer d11 en forma similar. Por supuesto, sólo podía rodar la regular morir y volver a lanzar en 12, pero de esta manera a lanzar vuelto muy rara.

De nuevo rollo de regular y especial d12 y, a continuación, leer el regular morir a menos que es a los 12 años, en cuyo caso leer el especial de morir (si son 12, rebollo ambos).

De nuevo, la tabla pone esto en claro:

          special die
       1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11   12 
reg._____________________________________________________________
 1 |   1    1    1    1    1    1    1    1    1    1    1    1 
 2 |   2    2    2    2    2    2    2    2    2    2    2    2 
 3 |   3    3    3    3    3    3    3    3    3    3    3    3 
 4 |   4    4    4    4    4    4    4    4    4    4    4    4 
 5 |   5    5    5    5    5    5    5    5    5    5    5    5 
 6 |   6    6    6    6    6    6    6    6    6    6    6    6 
 7 |   7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7    7 
 8 |   8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    8    8 
 9 |   9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9    9 
10 |  10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10   10 
11 |  11   11   11   11   11   11   11   11   11   11   11   11 
.. |  .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. . .. 
12 |   1    2    3    4    5    6    7    8    9   10   11 : Reroll

Las mismas ideas se pueden aplicar a cualquiera de los otros dados de dados (como el d20), así, por ejemplo, d7, d9, d19, d21, todo puede ser emulado de esta manera (bueno, d3 y d5 también podría, pero se puede hacer de ellos el uso de d6 y d10, más que suficiente)

Answer 4

Si el objetivo es minimizar el número esperado de dados rodó (según lo sugerido por Qiaochu de Yuanes), uno puede mejorar en Amitai del método de guardar la información de descartados morir rollos. He aquí cómo funciona:

1. Tirar un d20. Si el resultado es entre el 1 y el 13 de parada. De lo contrario, rodar de nuevo.

2. Después de la segunda tirada, tenemos 140 igualdad de posibilidades, con 7 opciones de la izquierda de la primera tirada, y 20 de la segunda tirada. Si el resultado es uno de los primeros 130, detener y generar un número. De lo contrario, rodar de nuevo.

3. Después del tercer rollo, tenemos 200 igualdad de posibilidades, con el 10 a la izquierda de la segunda tirada y 20 de la nueva bobina. Si el resultado es uno de los primeros 195 (que es un múltiplo de 13), stop. De lo contrario continúe.

El número esperado de rollos para esta estrategia es $$ 1 \,+\, \frac{7}{20} \,+\, \frac{10}{20^2} \,+\, \frac{5}{20^3} \,+\, \frac{9}{20^4} \,+\, \cdots \;=\; \frac{1238418740163877}{900219780219780} \;\approx\; 1.375685, $$ donde los numeradores de las fracciones de la izquierda son las potencias de 20 modulo 13. Los numeradores se repiten cada 12 términos, y conjuntos de agrupación de 12 términos produce una serie geométrica, que es la forma en que calcula la suma.

De manera más general, en lugar de utilizar una secuencia de d20, uno puede utilizar cualquier secuencia de dados, con $k_1$ lados por primera morir, $k_2$ lados para el segundo morir, y así sucesivamente. En este caso, se espera que el número de rollos es $$ 1 \,+ \sum_{n=1}^\infty \frac{k_1\cdots k_n \text{ mod }13}{k_1\cdots k_n} $$ Aunque no estoy del todo seguro, creo que esta suma es minimizado por la siguiente secuencia de dados: $$ 20,\;\;8,\;\;20,\;\;20,\;\;20,\;\;8,\;\;20,\;\;20,\;\;20,\;\;8,\;\;\ldots $$ En este caso, se espera que el número de rollos es $$ 1 \,+\, \frac{7}{20} \,+\, \frac{4}{20\cdot 8} \,+\, \frac{2}{20^2 \cdot 8} \,+\, \frac{1}{20^3\cdot 8} \,+\, \frac{7}{20^4 \cdot 8} \,+\, \frac{4}{20^4 \cdot 8^2} \,+\, \cdots $$ suma $$ \frac{88040}{63999} \;\approx\; 1.375646\text{ rollos}. $$ Creo que esta puede ser la mejor estrategia posible para reducir al mínimo el número de dados hecho rodar.

Answer 5

Por perfectamente al azar, ¿te refieres uniformemente al azar? Porque cualquier combinación que produce el 13 de valores (decir 1d10 + (1d4-1)), se produciría un (completamente) resultado arbitrario. Sólo tal vez no de una manera uniforme aleatorio resultado (es decir, los números pueden no aparecer con la misma frecuencia).

La tabla de frecuencia de la que viene de la 1d10 + (1d4-1) esquema: $$ \begin{array}{cccccccccccccc} \text{resultado} & 1 & 2 & 3& 4 & 5& 6& 7& 8& 9&10&11&12&13\\ \hline \text{frecuencia} & .025 & .05 y .075 & .1 &.1 &.1 &.1 &.1 &.1 &.1&.075&.05&.025 \end{array} $$ Usted puede ser capaz de poner una penalización en los resultados de 2 a 12 y de alguna manera producir una distribución más uniforme, pero es probable que los mejores enfoques sería el rechazo de los métodos especificados en los comentarios.