Probar propiedades de la función de suma

Question

Tengo la función

$$f(x,k) = \sum_{i=0}^p (i-k)a_i x^{p-i}.$$

para $k=1,\dots,p-1$, $x>0$, y $a_i>0$. ¿Cómo puedo demostrar que para cualquier valor dado de $k$ en este rango,

1. $f(x)$ tiene solo una intersección con el eje $x$, y
2. $f(x)>0$ antes de esta intersección, $f(x)<0$ después de la intersección?

Answer 1

Se nos da $1 \leq k \leq p-1$. En la suma, $i$ varía sobre $[0,p]$, por lo que $i$ comienza siendo menor que $k$, eventualmente es igual a $k$, luego es mayor que $k$ hasta que terminamos de producir términos de la suma. Esto significa que $(i-k)$ es inicialmente negativo, es cero cuando $i = k$ y es positivo después.

Nótese que $a_i$ es positivo, por lo que los coeficientes del polinomio $f(x,k)$ en orden decreciente son negativos, cero para un término, luego positivos. Solo hay un cambio de signo en la lista ordenada de coeficientes.

Según la regla de los signos de Descartes, hay exactamente una raíz (con multiplicidad uno) de $f(x,k)$ con $x > 0$. Llame a esa raíz $r_k$.

Además, $\lim_{x \rightarrow 0^+} f(x,k) = (p-k)a_p > 0$, por lo que $f(x) > 0$ para $x \in (0,r_k)$ y $f(x) < 0$ para $x \in (r_k,\infty)$. (Sin usar límites: el coeficiente constante de $f(x,k)$ es $(p-k)a_p$, un producto de dos números positivos, por lo que es positivo. Dado que $f$ es continua en $x$, $f$ es positiva en un intervalo abierto (potencialmente muy estrecho) $(0,\varepsilon)$, entonces a medida que $x$ avanza de izquierda a derecha en $(0,\infty)$, $f$ es positiva, luego cero, luego negativa.)