Problema de sustitución trigonométrica - Integración

Question

Supongamos que quiero integrar esto (elegí uno fácil): $$\int \frac {dx}{\sqrt{x^2-4}}$$ Método 1: (Sustitución trigonométrica) $x=2\sec(\theta)$ $$\int \frac {dx}{\sqrt{x^2-4}}=\int \frac{\sec(\theta)\tan{(\theta)}}{|\tan(\theta)|}d\theta$$

Ahora, quitar el valor absoluto resulta difícil. La función inversa del secante divide los valores de $\theta$ entre $0$ y $\pi/2$, y entre $\pi/2$ y $\pi. ¿Cómo puedo resolver esto? La tangente es positiva de $0$ a $\pi/2$ - primer cuadrante, y negativa de $\pi/2$ a $\pi. Sé que la mayoría de los libros pasan por alto esto, pero quiero ser lo más preciso posible.

Digo "Método 1" porque también tengo otra pregunta justo después de esto.

Answer 1

Señalar que el integrando $\dfrac{1}{\sqrt{x^2-4}}$ solo está definido en $(-\infty,-2)\cup(2,\infty)$.

Por lo tanto, podemos considerar por separado la antiderivada en $x > 2$ y en $x < -2$.

Si $x > 2$, entonces sustituimos $x = 2\sec \theta$ donde $0 < \theta < \tfrac{\pi}{2}$.

En este rango, $\tan \theta > 0$. Entonces, $\sqrt{x^2-4} = 2\tan \theta$, y por lo tanto,

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-4}} = \int \dfrac{2\sec \theta \tan \theta}{|2\tan \theta|} \,d\theta = \int \dfrac{\sec \theta \tan \theta}{\tan \theta} \,d\theta = \int \sec \theta \,d\theta$

$= \ln|\sec\theta + \tan \theta|+C = \ln\left|\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right|+C = \ln\left(\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)+C

Si $x < -2$, entonces sustituimos $x = 2\sec \theta$ donde $\tfrac{\pi}{2} < \theta < \pi$.

En este rango, $\tan \theta < 0$. Entonces, $\sqrt{x^2-4} = -2\tan \theta$, y por lo tanto,

$\displaystyle\int\dfrac{dx}{\sqrt{x^2-4}} = \int \dfrac{2\sec \theta \tan \theta}{|2\tan \theta|} \,d\theta = \int \dfrac{\sec \theta \tan \theta}{-\tan \theta} \,d\theta = -\int \sec \theta \,d\theta$

$= -\ln|\sec\theta + \tan \theta|+C = -\ln\left|\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right|+C = \ln\left|\dfrac{1}{\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}}\right|+C.

$= \ln\left|\dfrac{\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}}{\left(\frac{x}{2}-\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)\left(\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)}\right|+C = \ln\left|\dfrac{\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}}{\frac{x^2}{4}-\frac{x^2-4}{4}}\right|+C = \ln\left|\frac{x}{2}+\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right|+C

Como puedes ver, las dos expresiones son iguales. Por lo tanto, en este caso, no perdemos nada escribiendo descuidadamente $\sqrt{x^2-4} = 2\tan \theta$ en lugar de $|2\tan \theta|$.

Alternativamente, si $x < -2$, entonces sustituimos $x = 2\sec \theta$ donde $\pi < \theta < \frac{3\pi}{2}$. Entonces $\tan \theta > 0$ en este rango, y por lo tanto, no necesitamos preocuparnos por los signos de valor absoluto.