Prueba de desigualdad (¿quizás inductiva?)

Question

Inventé esto por mi cuenta y aunque parece verdadero (gracias a Desmos), estaba interesado en ver una prueba de ello. Intenté un enfoque inductivo por mi cuenta pero desafortunadamente no pude llegar a nada concreto (solo asumiendo la declaración, probando el caso base y jugando con ella).

Demuestre que $$ (5^{k})! > 5^{k!} \ \forall \ k \in \mathbb{N} $$

Answer 1

Para $k = 0$, obtenemos $$ \left( 3^k \right)! = 1! = 1 \not> 5 = 5^1 = 5^{0!} = 5^{k!}. \tag{0} $$ Para $k = 1$, obtenemos $$ \left( 3^k \right)! = 3! = 3 \not> 5^1 = 5^{1!} = 5^{k!}. \tag{1} $$

Para $k = 2$, obtenemos $$ \left( 3^k \right)! = 9! > 25 = 5^2 = 5^{2!} = 5^{k!}. \tag{2} $$

Supongamos que $k \in \mathbb{N}$ tal que $k \geq 2$ y también $$ \left( 3^k \right)! > 5^{k!}. \tag{3} $$

Entonces encontramos que $$ \begin{align} \left( 3^{k+1} \right)! &= \left( 3 \cdot 3^k \right)! \\ &= \left( 3 \cdot 3^k \right)\left( 3 \cdot 3^k -1 \right) \ldots \left( 3^k +1 \right) \left( \cdot 3^k \right)! \\ &> \left( 3 \cdot 3^k \right)\left( 3 \cdot 3^k -1 \right) \ldots \left( 3^k +1 \right) 5^{k!} \\ &= \left( 3^k + 2 \cdot 3^k \right) \left( 3^k + 2 \cdot 3^k -1 \right) \ldots \left( 3^k + 1 \right) 5^{k!} \\ &> \left( 3^k + 1 \right)^{2 \cdot 3^k} 5^{k!} \\ &> 5^{2 \cdot 3^k } 5^{k!} \\ &> 5^{k+1} 5^{k!} \tag{4} \\ &= 5^{(k+1)k!} \\ &= 5^{(k+1)!}. \end{align} $$

En (4) arriba hemos utilizado el resultado de que $$ 2 \cdot 3^k > k+1 $$ para todo $k \in \mathbb{N}$. Este resultado no debería ser muy difícil de probar usando inducción.

Espero que esto ayude.