Mi pregunta tiene que ver con las soluciones incongruentes de una congruencia lineal. Este es el problema:
Encuentra todas las soluciones enteras de la congruencia lineal $15x \equiv 36 \mod 57$.
Puedo usar el algoritmo de Euclides, el mcd, etc., para resolver la ecuación diofántica lineal y obtener una solución general para $x$. Obtengo $x=48+19t$ con $t\in\mathbb{Z}$.
Ahora se me pide que exprese mi respuesta como una congruencia lineal: Entonces, de lo anterior se sigue que $x \equiv 48 \mod 19 $.
Sin embargo, no entiendo los siguientes pasos y agradecería una explicación.
Luego las notas dicen "ahora expresa tu respuesta en el mismo módulo que la pregunta (es decir, $57$). Si variamos $t (=-2,-1,0,1,2)$ encontramos soluciones $10,29,48,67$. Pero $67\equiv10 \mod 57$ y así después de $10,29,48$ no obtenemos nuevas soluciones módulo 57."
Mis preguntas tienen que ver con la declaración en negrita:
¿Por qué $67\equiv10 \mod 57$ implica que no obtendríamos nuevas soluciones? Además, ¿por qué hay solo $3$ soluciones incongruentes?
(He elaborado una especie de explicación aproximada, pero no me satisface del todo: $x=10,29,48,67,86$ etc dependiendo del valor de $t$ que elijamos. Pero como $19(3)$ cada $3$ soluciones de $10,29,48$ serán equivalentes a sumarle $3(19)=57$ (o un múltiplo de $57$) a una de $10,29,48$ y así todas las 'nuevas' soluciones serán equivalentes a las tres soluciones originales módulo $57$.)
