Las soluciones incongruentes de una congruencia lineal

Question

Mi pregunta tiene que ver con las soluciones incongruentes de una congruencia lineal. Este es el problema:

Encuentra todas las soluciones enteras de la congruencia lineal $15x \equiv 36 \mod 57$.

Puedo usar el algoritmo de Euclides, el mcd, etc., para resolver la ecuación diofántica lineal y obtener una solución general para $x$. Obtengo $x=48+19t$ con $t\in\mathbb{Z}$.

Ahora se me pide que exprese mi respuesta como una congruencia lineal: Entonces, de lo anterior se sigue que $x \equiv 48 \mod 19$.

Sin embargo, no entiendo los siguientes pasos y agradecería una explicación.

Luego las notas dicen "ahora expresa tu respuesta en el mismo módulo que la pregunta (es decir, $57$). Si variamos $t (=-2,-1,0,1,2)$ encontramos soluciones $10,29,48,67$. Pero $67\equiv10 \mod 57$ y así después de $10,29,48$ no obtenemos nuevas soluciones módulo 57."

Mis preguntas tienen que ver con la declaración en negrita:

¿Por qué $67\equiv10 \mod 57$ implica que no obtendríamos nuevas soluciones? Además, ¿por qué hay solo $3$ soluciones incongruentes?

(He elaborado una especie de explicación aproximada, pero no me satisface del todo: $x=10,29,48,67,86$ etc dependiendo del valor de $t$ que elijamos. Pero como $19(3)$ cada $3$ soluciones de $10,29,48$ serán equivalentes a sumarle $3(19)=57$ (o un múltiplo de $57$) a una de $10,29,48$ y así todas las 'nuevas' soluciones serán equivalentes a las tres soluciones originales módulo $57$.)

Answer 1

Diría que tu 'explicación aproximada' es bastante buena. Cuando se habla de congruencia $\pmod {57}$, solo hay $57$ posibilidades, representadas por $0, 1, 2,..., 56$. Cualquier valor fuera de ese rango es congruente con uno de los valores en ese rango. Entonces, una vez que estás fuera de ese rango de valores, no obtienes nada nuevo.

Answer 2

$48\equiv 10\pmod{\!19}\,$ por lo tanto $\,x = 10 + 19\,\color{#c00}k.\,$ División $\,k\div 3\,\Rightarrow\,\color{#c00}{k =\color{#0a0} r+3n}\ $ para $\, \color{#0a0}{r\in \{0,1,2\}}$

$\begin{align}{\rm Sustituyendo\,\ encontramos }\ \ \ x &= 10+19(\color{#c00}{\color{#0a0}r\!+\!3n})\\ &= 10+19\,\color{#0a0}r+57n\\ &= 10+19\color{#0a0}{\{0,1,2\}}\! + 57n\\ &= \{10,29,48\} + 57n \end{align}$