Supongamos $G$ es un simple grupo de orden $60$, muestran que $G$ no puede haber un subgrupo isomorfo a $ \frac {\bf Z}{6 \bf Z}$.
Por supuesto, una forma de hacer esto es tener en cuenta que sólo simple grupo de orden $60$$A_5$. Así que si $G$ tiene un subgrupo cíclico de orden $6$, entonces debe de haber un elemento $\sigma$ orden $6$, es decir, en (discontinuo) ciclo de descomposición de $\sigma$ debe haber un $3$ ciclo y, al menos, $2$ transposición, lo cual es imposible en $A_5$.Por lo tanto,hemos terminado.
Estoy interesado en resolver esta cuestión sin necesidad de utilizar el hecho de que $ G \cong A_5$. Aquí es lo que he intentado:
Supongamos $G$ tiene un subgrupo decir $H$ isomorfo a $ \frac {\bf Z}{6 \bf Z}$, entonces se debe considerar la natural acción transitiva $G \times \frac {G}{H} \to \frac {G}{H}$, lo que da un homomorphism $\phi \colon G \to S_{10}$. ¿Alguien que me ayude a probar que $\ker \phi$ es trivial ?
Hay alguna otra manera de resolver esta cuestión? Cualquier sugerencias/ideas?