¿El "lugar continuo" de una función tiene alguna propiedad agradable?

Question

Supongamos que $f:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$ es una función. Sea $S=\{x\in \mathbf{R}|f\text{ es continua en }x\}$. ¿Tiene $S$ alguna propiedad agradable?

A continuación se presentan algunas observaciones sobre lo que podría ser $S$:

• $S$ puede ser cualquier conjunto cerrado. Para un conjunto cerrado $S$, sea $g$ una función continua cuyo locus de anulación es $S$ (por ejemplo, podrías tomar $g(x)$ como la distancia de $x$ a $S$ si $S$ no está vacío). Luego define $$f(x) = \begin{cases} g(x) &\text{si }x\in \mathbf{Q}\\ 0 &\text{en otro caso}. \end{cases}$$ Entonces el locus continuo de $f$ es exactamente $S$.
• $S$ puede ser un intervalo abierto. Para un intervalo abierto $S$, define $$f(x) = \begin{cases} 0 &\text{si }x\in S \wedge x\in\mathbf{Q}\\ 1 &\text{en otro caso}. \end{cases}$$ Entonces el locus continuo de $f$ es exactamente $S$.
• $S$ puede ser el complemento de cualquier conjunto numerable. Sea $T = \{t_1,t_2,t_3,\ldots\}=\{t_i\}_{i\in\mathbf{N}}$ un conjunto numerable, y sea $\sum_i a_i$ una serie absolutamente convergente cuyos términos son todos distintos de cero (como $a_i=\frac{1}{2^i}$). Define $$f(x) = \sum_{i\text{ tal que }t_i < x} a_i.$$ Entonces el locus continuo de $f$ es exactamente el complemento de $T$.

A continuación se presentan algunas preguntas a las que me gustaría saber las respuestas:

• ¿Puede $S$ ser cualquier conjunto abierto?
• ¿Puede $S$ ser no medible? (si $$f(x) = \begin{cases} 0 &\text{si }x\in S\\ 1 &\text{en otro caso}. \end{cases}$$ $f(x)=0$ si $x\in S$ y $f(x)=1$ en otro caso, ¿cuál será el locus continuo?)

Answer 1

Es un resultado estándar que el locus continuo siempre es $G_\delta$. Para cada $r>0$, sea $U(r)$ el conjunto de puntos $x$ tales que algún entorno de $x$ se mapea en una bola de radio $r$. Entonces cada $U(r)$ es abierto, y el locus continuo es su intersección. Por otro lado, dado un conjunto $G_\delta$, estoy bastante seguro de que no es difícil construir una función con ese locus continuo, aunque no recuerdo cómo hacerlo de memoria.

Answer 2

Sí, aquí hay una prueba rápida de que cualquier $G_\delta$ dado (en $\mathbb{R}$) puede ser realizado como el conjunto de puntos de continuidad de alguna función real.

Sea $G$ un conjunto $G_\delta$ dado en $\mathbb{R}$, lo que significa que $G = \cap_{i=1}^\infty G_i$, donde cada $G_i$ es un conjunto abierto. Define una función $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ de la siguiente manera: $f(x)=0$ si $x$ está en $G$. Si $x$ no está en $G$, entonces hay algún $k$ tal que $x$ no está en $G_k$; sea $k$ el mínimo con esa propiedad. Define $f(x)=1/k$ si $x$ es racional y $f(x)=-1/k$ si $x$ es irracional.

Si no estoy muy equivocado, $G$ es precisamente el conjunto de puntos de continuidad de esta $f$. ¡Me gustaría dejar esto como un ejercicio por ahora :-) Avísame si no estás seguro de cómo hacerlo, o - peor aún - si me equivoco en la construcción.

Answer 3

Espero que a nadie le importe si intento hacer el ejercicio.

Claramente $f$ es continua en $G$. Supongamos que $f$ es continua en $x$ y $f\left(x\right)=1/k$. Tomemos $\epsilon=1/k$. Sea $U$ cualquier vecindario de $x$. $U\cap G_1\cap .. \cap G_{k-1}$ contiene un número irracional $y$. Por lo tanto, $\left|f\left(x\right)-f\left(y\right)\right|=2/k>\epsilon$. (Si $f\left(x\right)=-1/k$, tomemos $y$ como un número racional.)