Triángulo con un lado biseccionado y un lado trisectado

Question

En la figura, $P$ es el punto medio de $BC$, y $AR=RQ=QC$. Demuestra que:

1. $BR=4SR$
2. $\triangle ABC =12\triangle ASR$

From the given figure, 1). $BP=PC$

2). $\triangle APB=\triangle APC$, siendo $AP$ la mediana de $\triangle ABC$

Now, what should I do next?

Answer 1

Como $BP=PC$, $RQ=QC$, entonces $BR = 2PQ$ y $BR$ es paralelo a $PQ$. De manera similar, $PQ = 2SR$ porque $AR = RQ$ y $SR$ es paralelo a $PQ$. Por lo tanto, $BR = 2PQ = 4SR$. $\dfrac{S_{ASR}}{S_{ABC}} = \dfrac{S_{ASR}}{2S_{APC}} = \dfrac{AS\cdot AR}{2AP\cdot AC} = \dfrac{1}{2\cdot 3\cdot 2} = \dfrac{1}{12}$

Answer 2

Se vuelve bastante obvio si haces una transformación afín sobre un triángulo rectángulo isósceles en una cuadrícula cuadrada

y si las transformaciones afines son demasiado difíciles, entonces construye una rejilla de paralelogramos con un lado paralelo a la base $BC$ (dividida en $12$ partes) y el otro paralelo a la mediana $AP$ (dividida en $6$ partes)