(Por el bien de ser conciso y consistente con la pregunta, esta respuesta se expresa utilizando los "autovectores" de los operadores de posición e momento, aunque estos "autovectores" no son normalizables y realmente no pertenecen al espacio de Hilbert. Esta salvedad no afecta la esencia de la pregunta o la respuesta.)
El operador de inversión temporal $T$ es anti-lineal. En general, un operador anti-lineal $T$ satisface $$ Tz|\psi\rangle=z^*T|\psi\rangle $$ para todos los números complejos $z$ y todos los vectores de estado $|\psi\rangle$. Sin embargo, esto por sí solo no es suficiente para especificar el operador $T$. Para especificar el efecto de un operador anti-lineal en vectores de estado arbitrarios, necesitamos especificar su efecto en una base específica, y luego su efecto en todos los demás vectores de estado sigue automáticamente.
Si definimos un operador anti-lineal $T$ para preservar los autovectores de posición $|\mathbf{r}\rangle$, de manera que $$ T|\mathbf{r}\rangle = |\mathbf{r}\rangle \tag{1} $$ para cada $\mathbf{r}$, entonces la anti-linealidad implica de inmediato que su efecto en un vector de estado arbitrario es $$ T\int d^3r\ \psi(\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle =\int d^3r\ \psi^*(\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle. \tag{2} $$ En particular, su efecto en las autofunciones del momento $$ |\mathbf{p}\rangle = \int d^3r\ \exp(i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle \tag{3} $$ es $$ T\int d^3r\ \exp(i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle =\int d^3r\ \exp(-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle. \tag{4} $$ lo cual también se puede escribir como $$ T|\mathbf{p}\rangle = |-\mathbf{p}\rangle. \tag{5} $$ Esto es consistente con las ecuaciones 1 y 2 de la pregunta.
La clave aquí es que $T$ actúa por conjugación compleja solo en la base de posición, como se muestra en la ecuación (2). $T$ no actúa como conjugación compleja en otras bases. En particular, no actúa como conjugación compleja en la base de momento. La ecuación (5) implica que el efecto de $T$ en un vector de estado arbitrario expresado en la base de momento es \begin{align} T \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \phi(\mathbf{p})|\mathbf{p}\rangle &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \phi^*(\mathbf{p})T|\mathbf{p}\rangle \\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \phi^*(\mathbf{p})|-\mathbf{p}\rangle \\ &= \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \phi^*(-\mathbf{p})|\mathbf{p}\rangle. \tag{6} \end{align} Dado que en general $\phi^*(-\mathbf{p})\neq\phi^*(\mathbf{p})$, esto muestra que $T$ no actúa como conjugación compleja en general; eso llevaría a contradicciones. Otra forma de deducir (6) es sustituir $$ |\mathbf{r}\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \exp(-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})|\mathbf{p}\rangle \tag{7} $$ en la ecuación (2). Dado que $T$ se definió para dejar invariable a $|\mathbf{r}\rangle$, no puede simplemente tomar el conjugado complejo del coeficiente $\exp(-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})$ en la ecuación (7). El efecto neto de $T$ está descrito por la ecuación (6).
Por lo tanto, la respuesta a la pregunta es que la inversión temporal actúa por conjugación compleja solo en la base de posición. Las ecuaciones 1 y 2 en la pregunta son correctas, y de hecho están diciendo lo mismo porque los lados derecho de esas ecuaciones son iguales entre sí. Estrictamente hablando, la ecuación 2 en la pregunta no dice que $T$ invierte el parámetro $\mathbf{p}$. Dice que $T$ reemplaza el vector de estado $|\mathbf{p}\rangle$ con el vector de estado $|-\mathbf{p}\rangle$, lo cual es lo mismo que decir que $T$ actúa como conjugación compleja en la base de posición.
Apéndice
Aquí hay una ilustración más simple del hecho de que un operador anti-lineal (como el operador de inversión temporal) actúa por conjugación compleja solo en una base y no en otras bases.
Cada operador anti-lineal satisface $$ Tz|\psi\rangle = z^*T|\psi\rangle \tag{A-1} $$ para cada vector de estado $|\psi\rangle$ y cada número complejo $z$. Esto es lo que significa "anti-lineal". Sea $|0\rangle$ cualquier vector de estado, y sea $T$ un operador anti-lineal que satisface $$ T|0\rangle = |0\rangle. \tag{A-2} $$ Ahora sea $\theta$ una variable real y definamos $$ |\theta\rangle \equiv \exp(i\theta)|0\rangle. \tag{A-3} $$ Las ecuaciones (A-1) y (A-2) implican $$ T|\theta\rangle = \exp(-i\theta)T|0\rangle = \exp(-i\theta)|0\rangle=|-\theta\rangle. \tag{A-4} $$ Por lo tanto, $$ Tz|\theta\rangle =z^*T|\theta\rangle =z^*|-\theta\rangle \tag{A-5} $$ Para la mayoría de los valores de $\theta$, esto implica $$ Tz|\theta\rangle \neq z^*|\theta\rangle. \tag{A-6} $$ Esto demuestra una vez más que $T$ no siempre actúa tomando el conjugado complejo de los coeficientes. Solo puede actuar de esa manera en una base.
Una "función de onda" es un conjunto de coeficientes. Por ejemplo, en el vector de estado $$ \int d^3r\ \psi(\mathbf{r})|\mathbf{r}\rangle = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\ \phi(\mathbf{p})|\mathbf{p}\rangle \tag{A-7} $$ con $$ \phi(\mathbf{p})\equiv \int d^3r\ \exp(-i\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\psi(\mathbf{r}), \tag{A-8} $$ los coeficientes $\psi(\mathbf{r})$ constituyen la función de onda en la base de posición, y los coeficientes $\phi(\mathbf{p})$ constituyen la función de onda en la base de momento. Ambos representan el mismo vector de estado. $T$ actúa por conjugación compleja de $\psi(\mathbf{r})$, pero $T$ no actúa por conjugación compleja de $\phi(\mathbf{p})$. Esto fue demostrado por las ecuaciones (2) y (6) en el texto principal, y las ecuaciones (A-1) a (A-6) ilustran el mismo fenómeno de forma más simple.
