Pregunta de probabilidad simple, bolas y contenedores

Question

Esta es una pregunta sencilla que encontré al revisar. Me pregunto si obtuve la respuesta correcta.

La pregunta es simple. Tienes $n$ bolas y $m$ contenedores. Cada bola tiene la misma probabilidad de caer en cualquier contenedor. Quiero saber cuál es la probabilidad de que exactamente un contenedor esté vacío.

Mi respuesta parece bastante simple, pero no creo que sea suficiente. Es $(\frac{m-1}{m})^n$ ya que para cada bola, puede ir a cualquiera de los otros contenedores. Sin embargo, creo que esta es solo la probabilidad de que algún contenedor arbitrario $A$ esté vacío, no exactamente un contenedor. ¿Qué más debo considerar?

Answer 1

Vamos a contar configuraciones, y luego dividimos por $m^n$.

Hay $m$ opciones para el contenedor vacío. Luego los otros contenedores están ocupados. Podemos contar las formas de colocar $n$ bolas en $m-1$ contenedores para que ningún contenedor esté vacío por inclusión-exclusión: Es

$$\sum_{k ~\text {contenedores conocidos como vacíos}} (-1)^k {m-1 \choose k} (m-1-k)^n.$$

Otra manera de obtener esto es etiquetar las partes de una partición de un conjunto de tamaño $n$ con $m-1$ partes. El número de particiones de un conjunto con un número dado de partes es un número de Stirling de segundo tipo, y queremos $(m-1)! S(n,m-1)$.

Multiplicamos esto por $m$ y luego dividimos por $m^n$ para obtener la probabilidad de que exactamente $1$ contenedor esté vacío.

Podemos usar las mismas técnicas para calcular la probabilidad de que exactamente $e$ contenedores estén vacíos para otros valores de $e$. Por ejemplo, supongamos que hay $4$ contenedores y $6$ bolas. Entonces hay $1560$ formas de que no haya contenedores vacíos, $2160$ formas de que haya exactamente $1$ contenedor vacío, $372$ formas de que haya exactamente $2$ contenedores vacíos, y $4$ formas de que haya exactamente $3$ contenedores vacíos. El total es $4096 = 4^6$. Dividiendo esto da una probabilidad de $\frac{135}{256} = 0.52734375$ de que exactamente $1$ contenedor esté vacío.