Vamos a contar configuraciones, y luego dividimos por $m^n$.
Hay $m$ opciones para el contenedor vacío. Luego los otros contenedores están ocupados. Podemos contar las formas de colocar $n$ bolas en $m-1$ contenedores para que ningún contenedor esté vacío por inclusión-exclusión: Es
$$\sum_{k ~\text {contenedores conocidos como vacíos}} (-1)^k {m-1 \choose k} (m-1-k)^n.$$
Otra manera de obtener esto es etiquetar las partes de una partición de un conjunto de tamaño $n$ con $m-1$ partes. El número de particiones de un conjunto con un número dado de partes es un número de Stirling de segundo tipo, y queremos $(m-1)! S(n,m-1)$.
Multiplicamos esto por $m$ y luego dividimos por $m^n$ para obtener la probabilidad de que exactamente $1$ contenedor esté vacío.
Podemos usar las mismas técnicas para calcular la probabilidad de que exactamente $e$ contenedores estén vacíos para otros valores de $e$. Por ejemplo, supongamos que hay $4$ contenedores y $6$ bolas. Entonces hay $1560$ formas de que no haya contenedores vacíos, $2160$ formas de que haya exactamente $1$ contenedor vacío, $372$ formas de que haya exactamente $2$ contenedores vacíos, y $4$ formas de que haya exactamente $3$ contenedores vacíos. El total es $4096 = 4^6$. Dividiendo esto da una probabilidad de $\frac{135}{256} = 0.52734375$ de que exactamente $1$ contenedor esté vacío.
