Podemos suponer que por un tiempo infinitesimalmente corto $dt$ el autobús rota alrededor de un punto. Para este tiempo podemos esperar que cada punto en el autobús se mueva a lo largo de círculos definidos por el centro (definido por el eje trasero, la distancia entre ejes y el ángulo de giro) y la distancia punto-centro. Es fácil ver que los puntos más lejos del centro deben recorrer una distancia más larga para cubrir el mismo movimiento angular.
Ahora simplifiquemos el autobús en un segmento de línea. Definamos tres puntos allí: $R$ como el eje trasero, $S$ como el eje de dirección y $C$ como el centro del giro. Definamos los vectores $\mathbf{r}$ y $\pmb{s}$ como vectores hacia donde apuntan las ruedas y que se originan en sus respectivos puntos $R$ y $S$.
Es fácil ver varias propiedades:
- El centro $C$ se encuentra en líneas perpendiculares a los vectores $\pmb{r}$ y $\pmb{s}$,
- Los puntos $R$, $C$ y $S$ forman un triángulo rectángulo con ángulo recto en $R$,
- Por el teorema de Pitágoras podemos ver $|SC|^2=|RC|^2+|SR|^2$.
- El eje de dirección siempre viaja alrededor de un radio mayor en comparación con el eje fijo.
- También podemos ver que a mayor distancia entre ejes, mayor es la diferencia.
Quantifiquemos la diferencia con respecto al ángulo de dirección. Si dibujas el esquema, encontrarás que el ángulo de dirección $\pmb{rs}$ es igual al ángulo $\gamma$ en la esquina $C$. Usando la notación del triángulo para los lados y ángulos (Esquinas: $R$, $S$, $C$, ángulos: $\rho$, $\sigma$, $\gamma$, lados $r$, $s$, $c$) y utilizando funciones goniométricas, podemos ver:
$$\frac r s=\frac{1}{\cos\gamma},$$
donde $\frac rs$ define la proporción entre el radio de recorrido del eje de dirección y el radio de recorrido del eje fijo y $\gamma$ es el ángulo de dirección.
Claramente podemos ver que los factores clave para ti (sentado por el conductor) y tu amigo (sentado en la parte trasera) son el ángulo de dirección $\gamma$ y tus distancias desde el eje fijo $x_Y$ y $x_F$. Cada uno tiene su propio ángulo de ataque $\xi_Y$ y $\xi_F$ y radio de recorrido $r_Y$ y $r_F$.
Para ambos podemos definir el ángulo de ataque como $\tan\xi_n=\frac {x_n}s$ y compararlo con el ángulo de dirección obtenemos:
$$\xi_n=\arctan{\frac{x_n\tan\gamma}{c}}$$
Usando esto en la proporción de recorrido que obtuvimos anteriormente:
$$\frac {r_n}s=\frac1{\cos\left({\arctan{\frac{x_n\tan\gamma}c}}\right)}.$$
Para comparar la distancia recorrida por ti y tu amigo simplemente dividimos las ecuaciones anteriores para obtener la proporción de la siguiente manera:
$$\frac{r_F}{r_Y}=\frac{\cos\left({\arctan{\frac{x_Y\tan\gamma}c}}\right)}{\cos\left({\arctan{\frac{x_F\tan\gamma}c}}\right)}.$$
Existen casos extremos interesantes:
- Para $\gamma=0$ el radio de giro diverge a infinito, pero la ecuación final devuelve 1, lo que significa que ambos viajan con la misma velocidad.
- Para $\gamma$ acercándose al ángulo recto la ecuación no está definida. Es fácil adivinar que la proporción de radios termina eventualmente como (converge a): $$\lim_{\gamma\rightarrow\pi/2}\frac{r_F}{r_Y}=\frac{|x_F|}{|x_Y|}$$
- Debido a que $\cos x=\cos{-x}$, no importa si tu amigo se sienta detrás del eje trasero o adelante de él, lo que realmente importa es su distancia y tu distancia desde el eje trasero.
- Dado que todas las funciones son "buenas" (continuas, monótonas) para todos los valores de $\gamma$ en el rango de 0 al ángulo recto, podemos concluir que el radio de tu amigo es menor que el tuyo cuando él está más cerca del eje que tú. $r_F\leq r_Y\iff x_F\leq x_Y$.
Por último podemos traducir los radios en velocidades y distancias recorridas.
Dado que el autobús se comporta como un cuerpo sólido (sin deformaciones) podemos esperar que la velocidad angular $\omega(t)$ sea la misma para todas las partes del autobús en todo momento $(t)$. Entonces podemos escribir: $$v_F(t)=\omega(t) r_F(t).$$
Si nos importa la distancia podemos escribirla de la siguiente manera:
$$s_n=\int_0^T\left(\omega(t)r_n(t)\right)dt,$$ $$s_F-s_Y=\int_0^T\left(\omega(t)r_F(t)\right)dt-\int_0^T\left(\omega(t)r_Y(t)\right)dt=\int_0^T\left(\omega(t)\left(r_F(t)-r_Y(t)\right)\right)dt$$
- Significa que estamos sumando todas las pequeñas distancias ($ds$) cubiertas en pequeños momentos ($dt$).
- Si consideramos que el autobús se mueve hacia adelante entonces la multiplicación $\omega(t)r_n(t)>0$.
- Luego cambiar de giro a la izquierda (digamos $\omega>0$) a giro a la derecha ($\omega<0$) cambia los signos para los radios también.
- Entonces si comparamos las sumas con respecto a tus posiciones en el autobús, podemos concluir que si tu amigo está más cerca del eje fijo ($x_F\leq x_Y$) que tú se mueve más lento que tú ($|v_F|\leq |v_Y|$) y como él está añadiendo valores más pequeños o iguales cada vez.
- Para la diferencia siempre estás sumando ceros (al moverte recto) o valores negativos, no hay forma de "compensar" su pérdida.
Así que para juzgar tu argumento ambas afirmaciones tuyas considerando que el autobús tiene dimensiones convencionales, en otras palabras el asiento más posterior está más cerca del eje fijo que el asiento más delantero.
- Hemos demostrado que diferentes puntos del autobús están viajando por trayectorias y distancias diferentes, por lo que tu afirmación es falsa.
- El argumento de tu amigo no puede ser juzgado independientemente. Si sigue mi expectativa de la geometría del autobús. Entonces su afirmación también es falsa: tú estás viajando una distancia más larga, pero su explicación es verdadera.
