Estoy tratando de desarrollar una idea que es la siguiente. En pocas palabras, imagina una lámina plana de material que, cuando se distorsiona (es decir, se curva en la tercera dimensión) almacena energía. Ahora, al calcular los componentes del Tensor de Curvatura de Riemann para describir la distorsión real, ¿cómo expresarías matemáticamente la energía almacenada en el área distorsionada en relación con los componentes del tensor de curvatura?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
jonny
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Puede que esté simplificando un poco el problema, pero las leyes de movimiento de una lámina flexible son muy similares a las de un campo clásico. Y el campo clásico está descrito por una densidad Lagrangiana de
$$\mathcal{L}(\phi;x,y,t) = \frac{1}{2} \left[\left(\frac{\partial \phi}{\partial t}\right)^2 - \left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 - \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right] - V(\phi)$$
hasta unos cuantos constantes para que las unidades funcionen. Y dado que no hay variación en el tiempo (asumo que estás discutiendo que la membrana no está en movimiento), podemos asumir que $\frac{\partial \phi}{\partial t}$ es 0. Y cambiaremos el signo solo para simplificar un poco las matemáticas.
Entonces ahora tenemos una densidad Lagrangiana de:
$$\mathcal{L}(\phi;x,y) = \frac{1}{2} \left[\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right].$$
Y dado que estamos buscando energía, calcularemos una densidad Hamiltoniana a partir del Lagrangiano, que debería ser $\mathcal{H} = \Sigma_i p_i \dot{q}_i - \mathcal{L}(\phi;x,y)$. Dado que ya no estamos tratando con coordenadas de tiempo, reemplazamos el $\dot{q}$ por un $\frac{\partial \phi}{\partial x}$ y $\frac{\partial \phi}{\partial y}$. Y nuestro momento también será algo similar (hasta constantes para arreglar nuestras unidades). Así que la densidad Hamiltoniana debería ser algo proporcional a
$$\mathcal{H} = \frac{1}{2} \left[\left( \frac{\partial \phi}{\partial x}\right)^2 + \left( \frac{\partial \phi}{\partial y}\right)^2\right].$$
Espero que eso ayude un poco. Pido disculpas por no incluir las constantes para las unidades, pero sea cual sea, deberían tener unidades de energía por unidad de área, ya que $\phi$ es esencialmente la elevación o depresión de la membrana por encima de su posición de equilibrio, y tomar la derivada de la posición con respecto a la posición, da un número adimensional, y esta es una densidad Hamiltoniana que debe integrarse sobre su área.
No estoy muy seguro de que todo eso sea exactamente correcto en términos matemáticos, pero me pareció la ruta más sensata. Por favor comente si tiene alguna corrección que aplicar.
