¿Alguien sabe de alguna interesante subconjuntos del conjunto de Cantor? Cuando empecé a pensar en esto, pensé que ya que el conjunto de Cantor $C$ es la intersección de distintos sindicatos de conjuntos cerrados, esos conjuntos cerrados sería subconjuntos de a $C$. Los conjuntos, sin embargo, ocurrir a intervalos! El conjunto de Cantor no contiene puntos aislados ni (abrir) los intervalos, entonces, ¿qué subconjuntos ¿contiene además de la $\varnothing$ y el sí mismo?
Respuestas
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Algunos podrían encontrar el conjunto de Cantor menos un punto interesante subespacio del conjunto de Cantor. Independientemente de en qué punto se eliminan, se homeomórficos el uno al otro. Para la concreción denotar $C_0=C\setminus\{0\}$. Este espacio se caracteriza por los siguientes
Teorema: Un espacio topológico es homeomórficos a $C_0$ si y sólo si es divisible, metrisable, cero-dimensional, localmente compacto, noncompact y no tiene puntos aislados.
Ahora que $C_0$ ha sido introducido, el vacío abierto subconjuntos del conjunto de Cantor tiene los siguientes agradable caracterización:
Teorema: Cualquier compacto no vacío abierto subconjunto de $C$ es homeomórficos a $C$. Cualquier noncompact abrir subconjunto de $C$ es homeomórficos a $C_0$.
Además, esta propiedad de tener exactamente dos tipos de subconjuntos abiertos, de que los otros son compactos y los otros noncompact, se caracteriza por el conjunto de Cantor entre compacto metrisable espacios, véase A. H. Schoenfeld y Gruenhage G., Una Alternativa para la Caracterización del Conjunto de Cantor. Actas de la Sociedad Matemática Americana 53 (1975), 235-236 (disponible en línea de forma gratuita).
DanV
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El conjunto de Cantor es un muy interesante subconjunto del conjunto de Cantor.
Es un espacio métrico, que es:
- Compacto;
- Nada denso;
- No tiene puntos aislados;
- Polaco (completamente metrizable con una densa contables subconjunto);
- Cero dimensional.
No sólo eso, también es universal con respecto a que cada Hausdorff compacto, segundo contables y cero espacio tridimensional es homeomórficos para el conjunto de Cantor.
Además, cada espacio métrico separable que es cero dimensional es homeomórficos a un subconjunto del espacio de Cantor. Esto incluye, en particular, la irrationals (con la métrica usual, también conocido como el espacio de Baire).
A partir de este hecho, tenemos que las incontables cerrado subconjuntos del espacio de Cantor son en sí mismos Cantor espacios, también tenemos que cualquier contables producto de Cantor espacios es homeomórficos para el espacio de Cantor, y podemos partición de cada conjunto de Cantor en el continuum de muchos distintos conjuntos de Cantor.
Esto para mostrar que "más" interesante subespacios del conjunto de Cantor son en sí mismos conjuntos de Cantor...
T. Eskin
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El conjunto de Cantor tiene un subconjunto que es Lebesgue medible pero no Borel. Este es, de hecho, de la escuela primaria, la prueba de que $Leb(\mathbb{R}^{n})\neq Bor(\mathbb{R}^{n})$$n=1$.
Tomar dos conjuntos de cantor, $C_{1}$ $C_{2}$ donde $C_{1}$ cero de la medida de Lebesgue (por ejemplo, el tercio medio conjunto de Cantor) y el segundo $C_{2}$ como uno que ha positiva de la medida de Lebesgue (usted puede elegir el orden de la construcción del conjunto de cantor, de modo que su medida se presenta cualquier valor deseado de $[0,1[$). Ya que todos los conjuntos de Cantor son homeomórficos, existe una homeomorphism $f:C_{2}\to C_{1}$. La construcción de un Vitali tipo de no Lebesgue medibles set $V\subset C_{2}$. Ahora $f(V)$ cero de la medida de Lebesgue y por lo tanto es Lebesgue medible, pero no es un conjunto de Borel. Se argumenta por la contradicción que es. Se que $C_{2}$ es compacto, entonces, en particular,$C_{2}\in Bor(\mathbb{R})$. Desde $f$ fue una homeomorphism, entonces es en particular un Borel función (que en este caso implica que la preimagen de cualquier conjunto de Borel es también un conjunto de Borel), y por lo tanto $V=f^{-1}(f(V))\in Bor(\mathbb{R})$, lo cual es una contradicción ya que el $V$ ni siquiera era Lebesgue medibles. Por lo tanto $f(V)\notin Bor(\mathbb{R})$, lo $Leb(\mathbb{R})\neq Bor(\mathbb{R})$.
Si usted encontró la anterior interesante, yo estoy dispuesto a arrojar luz sobre alguno de los pasos.
Léo Lam
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Michael Hardy
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La cuestión de que los números racionales pertenecen al conjunto de Cantor puede ser considerado interesantes. Los extremos de los eliminados, intermedios tercios, por supuesto, pero también a$1/4$$3/10$, y un montón de otras personas. Ver http://oeis.org/A054591
