Nota: El lado izquierdo de las ecuaciones de OP son integrales de Darboux inferiores y superiores, mientras que el lado derecho son sumas de Darboux inferiores y superiores. Estas son cosas bastante diferentes, como veremos más abajo.
Consideremos la función acotada $f(x)=x^2$ en $[0,1]$ y la partición $P=\{0,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{8}{9},1\}$.
Al principio queremos calcular la suma de Darboux inferior $\underline{s}(f;P)$ que aproxima la función $f$ desde abajo con rectángulos y la suma de Darboux superior $\overline{s}(f;P)$ que aproxima la función $f$ desde arriba con rectángulos con respecto a una partición específica $P$.
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Suma de Darboux inferior y superior
Consideramos una partición $P$ con $x_0=0longitud de cada intervalo $|I_k|=|x_k-x_{k-1}|$ es el ancho del rectángulo que usaremos. La altura $m_k$ del rectángulo con ancho $I_k$ se define como \begin{align*} m_k := \inf f(I_k) \end{align*>
La suma de Darboux inferior $\underline{s}(f;P)$ entonces está definida como \begin{align*> \underline{s}(f;P)=\sum_{k=1}^nm_k|I_k|\tag{1} \end{align*>
Nota que en (1) usamos el ínfimo para definir la suma de Darboux inferior, pero están en la parte interior de la suma. Análogamente definimos la suma de Darboux superior $\overline{s}(f;P)$.
Definimos la altura $M_k$ del rectángulo con ancho $I_k$ como \begin{align*> M_k:=\sup f(I_k) \end{align*> y definimos la suma de Darboux superior $\overline{s}(f;P)$ como \begin{align*> \overline{s}(f;P)=\sum_{k=1}^nM_k|I_k|\tag{1} \end{align*>
Observamos que para cada partición $P$ de acuerdo con la construcción anterior obtenemos \begin{align*> \underline{s}(f;P)\leq \overline{s}(f;P) \end{align*>
Ejemplo: Consideramos el caso especial $P=\left\{0,\frac{1}{4},\frac{1}{3},\frac{2}{3},\frac{8}{9},1\right\}$ y $f(x)=x^2$ y calculamos las sumas de Darboux inferior y superior. Obtenemos
\begin{align*> \underline{s}(f;P)&=\sum_{k=1}^5 m_k|I_k|\\ &=m_1|I_1|+m_2|I_2|+m_3|I_3|+m_4|I_4|+m_5|I_5|\\ &=0^2\cdot\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{12}+\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{3} +\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{2}{9}+\left(\frac{8}{9}\right)^2\cdot\frac{1}{9}\\ &=\frac{10675}{46656}\doteq 0.22880 \end{align*>
\begin{align*> \overline{s}(f;P)&=\sum_{k=1}^5 M_k|I_k|\\ &=M_1|I_1|+M_2|I_2|+M_3|I_3|+M_4|I_4|+M_5|I_5|\\ &=\left(\frac{1}{4}\right)^2\cdot\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{12}+\left(\frac{2}{3}\right)^2\cdot\frac{1}{3} +\left(\frac{8}{9}\right)^2\cdot\frac{2}{9}+1^2\cdot\frac{1}{9}\\ &=\frac{21449}{46656}\doteq 0.45973 \end{align*>
Nota que para calcular la suma de Darboux inferior $\underline{s}(f;P)$ para una partición específica $P$ no necesitamos ningún $\inf$ o $\sup$ delante de ella. Lo mismo vale para la suma de Darboux superior con respecto a una partición específica.
Integral de Darboux inferior y superior
Aquí consideramos todas las particiones y definimos la integral de Darboux inferior $\underline{\int_0^1}f(x)\,dx$ y la integral de Darboux superior $\overline{\int_0^1}f(x)\,dx$ como
\begin{align*> \underline{\int_0^1}f(x)\,dx:=\sup_{P} \underline{s}(f;P)\qquad \qquad\overline{\int_0^1}f(x)\,dx:= \inf_{P}\overline{s}(f;P) \end{align*>
La integral de Darboux inferior es el supremo de las sumas de Darboux inferiores sobre todas las particiones. Análogamente, la integral de Darboux superior es el ínfimo de las sumas de Darboux superiores sobre todas las particiones.
Notamos que de acuerdo con la construcción la integral de Darboux inferior y superior cumple \begin{align*> \underline{\int_0^1}f(x)\,dx\leq\overline{\int_0^1}f(x)\,dx \end{align*> pero la igualdad no siempre se da como podemos ver en el próximo ejemplo.
Ejemplo: Consideramos la función de Dirichlet en ningún lugar continua $D(x)$ en $[0,1]$ definida como \begin{align*> D(x)= \begin{cases> 1&\qquad x\in [0,1]\cap\mathbb{Q}\\ 0&\qquad x\in [0,1]\setminus \mathbb{Q> \end{cases> \end{align*> entonces \begin{align*> 0=\underline{\int_0^1}D(x)\,dx\ne\overline{\int_0^1}D(x)\,dx=1 \end{align*>
Entonces, incluso si la integral de Darboux inferior y superior existen, no necesariamente podemos definirlas como la integral de Darboux, ya que no necesariamente son iguales. Pero si son iguales, entonces ...
Integral de Darboux
Sea $f$ una función acotada definida en $[a,b]$. Si la integral de Darboux inferior $\underline{\int_0^1}f(x)\,dx$ y la integral de Darboux superior $\overline{\int_0^1}f(x)\,dx$ existen y son iguales, las definimos como la Integral de Darboux $\operatorname{D-}\int_0^1 f(x)\,dx$. \begin{align*> \operatorname{D-}\int_0^1 f(x)\,dx:=\underline{\int_0^1}f(x)\,dx \end{align*>
Nota: Se puede demostrar que la integral de Darboux y la integral de Riemann coinciden. Cada función integrable de Darboux es integrable de Riemann y viceversa. Ambas integrales dan el mismo valor.
