¿Producto de sumas de todos los subconjuntos módulo $k$?

Question

Entrada: conjunto de $N$ enteros y valor $k$ (módulo)

Salida: producto de la suma de todos los subconjuntos del conjunto de entrada (módulo $k$)

por ejemplo, para la entrada {1,2,3} y $k = 20$, tenemos 1 * 2 * 3 * (1+2) * (1+3) * (2+3) * (1+2+3) = 2160.

y:

$2160 \equiv 0 \pmod{20}$

La salida es 0.

¿Podría alguien sugerir si se puede implementar un algoritmo de manera óptima? (en tiempo polinómico - si esto es posible).

Answer 1

Aquí tienes una solución. Editaré más tarde con la explicación.

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Entrada: un conjunto $S = \{s_1, s_2, \ldots, s_N\}$, y un entero $k$.

Define matrices $P,Q$ de tamaño $(N+1) \times k$ inicializando la primera fila

$P_{0,i} = i$, $Q_{0,i} = 1

y rellenando filas sucesivas mediante

$$P_{n,i} = P_{n-1,i} \cdot P_{n-1, i+s_n}$$ $$Q_{n,i} = P_{n-1,i} \cdot Q_{n-1, i+s_n} + P_{n-1,i} \cdot Q_{n-1, i+s_n}$$

mientras se reduce todo (incluidos los índices) módulo $k$.

Salida $Q_{N,0}$.

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Rellenar cada entrada de la matriz es solo multiplicación, adición y reducción módulo $k$, cada una de las cuales creo que se puede hacer en tiempo $\log k$, por lo que en total el algoritmo es del orden $Nk\log k$.

Implementé esto en Python:

def aur(S, k):
    P = [list(range(k))]
    Q = [[1]*k]
    for n in range(1,len(S)+1):
        P.append([])
        Q.append([])
        for i in range(k):
            P[n].append( (P[n-1][i] * P[n-1][(i+S[n-1]) % k]) % k   )
            Q[n].append(  ( P[n-1][i] * Q[n-1][i] + Q[n-1][i]* P[n-1][(i+S[n-1]) % k]  ) % k )
    return Q[n][0]

Puedes comprobar que por ejemplo, aur$([1,2,3], 20) = 0$ y aur$([1,2,3], 3000) = 2160$ como en los ejemplos del autor original.

Editar: Aquí está la explicación.

Define un polinomio $$P_S(x) = \prod_{T \subseteq S} (x + \sum_{i \in T} i).$$ Si establecemos $x=0$, casi obtenemos lo que queremos, excepto que el producto también incluye el conjunto vacío que (asumo) no debería estar allí. Sin embargo, será conveniente incluirlo. A partir de $P_S(x) todavía podemos recuperar nuestra respuesta: primero dividimos por$x$para eliminar el conjunto vacío y luego establecemos$x=0$. De forma equivalente, tomamos$P'(0)$.

La razón por la que definimos este polinomio es porque obedece una bonita relación de recurrencia. Si establecemos $S_n = \{s_1, \ldots, s_n\}$, entonces

$$P_{S_n}(x) = P_{S_{n-1}}(x) P_{S_{n-1}}(x+s_n).$$

Esto se deduce del hecho de que un subconjunto $T$ de $S_n$ es o bien un subconjunto $T$ de $S_{n-1}$, o una unión $T \cup \{s_n\}$ para $T \subseteq S_{n-1}$. Además, podemos empezar con la condición inicial $P_{\emptyset}(x) = x$.

Calcular los coeficientes de $P_{S}(x)$ de esta manera es suficiente para calcular nuestra salida, pero este polinomio tendrá un grado $2^N$, por lo que no es factible. En su lugar, usamos la regla del producto, estableciendo $Q_S(x) = P_S'(x).$ Esto da

$$Q_{S_n}(x) = P_{S_{n-1}}(x) Q_{S_{n-1}}(x+s_n) + Q_{S_{n-1}}(x) P_{S_{n-1}}(x+s_n).$$

Luego podemos obtener $Q_{S_N}(0)$ y reducir módulo $k$. De esta manera, no necesitamos la lista completa de coeficientes exponencialmente grandes de estos polinomios, sino que solo necesitamos evaluarlos para $x = 0, 1, \ldots, k$.

Answer 2

Aquí está un intento de una solución de tiempo polinómico: Por supuesto, podemos asumir que los enteros dados $a_i$ están en el rango $\{0,\ldots,k-1\}.$ Denotemos por $v_m$ la cantidad de veces que $m$ aparece como una suma módulo $k$, es decir,

$$v_m = |\{ S \subset [N] : \sum_{j \in S} a_j \equiv_k m\}| \leq 2^N,$$

para $m =0,\ldots,k-1$. La suma requerida es cero si $v_0 > 1$, de lo contrario es

$$\prod_{m=1}^{k-1} m^{v_m} \pmod k,$$ que se puede calcular con $\sum_{m=1}^{k-1} \log(v_m) \leq k N$ multiplicaciones módulo $k$, por lo que es suficiente calcular $\{v_m\}$. Ahora consideremos el polinomio

$$P(x) = \prod_{i=1}^N (1+x^{a_i}) = \sum_{S \subset [N]} x^{\sum_{j \in S} a_j}.$$ Luego, tomando $w_k = e^{-2 \pi i/ k}$, podemos calcular $$X_\ell = P(w_k^\ell) = \sum_{m=0}^{k-1} v_m w_k^{\ell m}.$$

$\{X_\ell\}$ es la transformada discreta de Fourier de $\{v_m\}$ así que solo necesitamos calcular la inversa.