¿Podemos demostrar la Desigualdad de AM-GM usando estas integrales?

Question

Recientemente me encontré con estos dos resultados:

$$ \int_a^b \sqrt{\left(1-\dfrac{a}{x}\right)\left(\dfrac{b}{x}-1\right)} \: dx = \pi\left(\dfrac{a+b}{2} - \sqrt{ab}\right)$$

$$ \int_a^c \sqrt[3]{\left| \left(1-\dfrac{a}{x}\right)\left(1-\dfrac{b}{x}\right)\left(1-\dfrac{c}{x}\right)\right|} \: dx = \dfrac{2\pi}{\sqrt{3}}\left(\dfrac{a+b+c}{3} - \sqrt[3]{abc}\right)$$ para $0.

Todavía no he intentado resolver la primera, pero tengo una idea de cómo abordarla, utilizando la sustitución $x=a\cos^2\theta+b\sin^2\theta$. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo abordar la segunda.

Creo que lo más interesante de los resultados anteriores es que parece haber una prueba oculta de la desigualdad AM-GM. Claramente ambos integrandos son positivos, por lo que la AM-GM se cumple para los casos de 2 y 3 variables. Solo se requiere probar los resultados.

Mi pregunta es doble:

1. ¿Cómo se calcularía la segunda integral? ¿Existe un enfoque utilizando técnicas elementales?
2. ¿Se puede generalizar esto para probar la desigualdad de AM-GM para $n$-variables?

Answer 1

$$I(a,b,c)=\int_a^c\Big|(x-a)(x-b)(x-c)\Big|^{1/3}\frac{dx}{x}=I_{ab}+I_{bc}$$ donde $I_{ab}=\int_a^b$, etc.

Vamos al plano complejo y consideramos $\oint$ con los puntos de inflexión $z=a$ y $z=c$ (haciendo el corte desde $a$ hasta $c$). Denotemos esta integral como $j$. Es fácil verificar que $$j=\oint=I_{ab}+I_{bc}e^{-\pi i/3}+I_{cb}e^{-\pi i}+I_{ba}e^{-4\pi i/3}$$ donde $I_{ba}=-I_{ab}$ (vamos en la dirección opuesta - de $b$ a $a$ en el banco inferior del corte). También agregamos pequeños círculos medio y completo alrededor de $z=a,b,c$ - para cerrar el contorno (las integrales a lo largo de estos círculos no contribuyen).

Ahora, agregamos la trayectoria de integración desde $z=c$ hasta $R$ a lo largo del eje $X$, y un gran círculo de radio $R\to \infty$:

integramos a lo largo del banco superior del corte, luego desde $z=c$ hasta $R$, a lo largo de un gran círculo, luego desde $z=R$ de regreso a $z=c$ a lo largo del eje $X$ en dirección opuesta, y finalmente a lo largo del banco inferior del corte hasta el punto de partida. Denotemos esta integral como $J$.

Dado que el único polo dentro de este gran contorno cerrado, y teniendo en cuenta que las integrales a lo largo del eje $X$ se cancelan entre sí, podemos escribir: $$J=j+\oint_R=2\pi i \operatorname{Res}\Big((z-a)(z-b)(z-c)\Big)^{1/3}\frac{1}{z}$$ donde $\oint_R=\oint_R\Big((z-a)(z-b)(z-c)\Big)^{1/3}\frac{dz}{z}$ - denota la integración a lo largo de un gran círculo (en sentido contrario a las agujas del reloj).

Todas las evaluaciones son directas (lo único es que debemos designar correctamente las fases del integrando alrededor de $z=a,b,c$ en ambos bancos del corte). $$\operatorname{Res}_{z=0}\Big((z-a)(z-b)(z-c)\Big)^{1/3}\frac{1}{z}=e^{\pi i/3}(abc)^{1/3}$$ $$\oint_R\to 2\pi ie^{-2\pi i/3}\Big(-\frac{1}{3}\Big)(a+b+c)\,\, \text{en} \,R\to\infty$$

Juntando todo

$$(I_{ab}+I_{bc})(1+e^{-\pi i/3})=2\pi ie^{\pi i/3}\Big((abc)^{1/3}-\frac{a+b+c}{3}\Big)$$ $$I(a,b,c)=\frac{\pi}{\cos(\pi /6)}\Big(\frac{a+b+c}{3}-(abc)^{1/3}\Big)$$

El patrón para $0 también es claro.