¿Qué implica el signo menos en la tercera ecuación de Maxwell?

Question

Si escribimos las ecuaciones de Maxwell con cargas magnéticas, obtenemos

$$ \begin{align} \nabla \cdot \mathbf{E} &= 4 \pi \rho_e \tag{1}\\ \nabla \cdot \mathbf{B} &= 4 \pi \rho_m \tag{2}\\ -\nabla \times \mathbf{E} &= \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + 4 \pi \mathbf{J}_m \tag{3}\label{Eq:Faraday}\\ \nabla \times \mathbf{B} &= \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 4 \pi \mathbf{J}_e \tag{4}\label{Eq:Ampere} \end{align} $$

En particular, la ley de Faraday \eqref{Eq:Faraday} contiene un signo negativo que la ley de Ampère \eqref{Eq:Ampere} no tiene. Siempre me ha parecido extraño porque a menudo se dice que los campos son duales entre sí (es decir, puedes reemplazar E por B y "obtener el mismo resultado"), pero eso requiere un poco de recalibración mental para dar cabida a ese signo negativo. Así que me pregunto cuál es el origen de ese negativo y qué significa. ¿Existen explicaciones intuitivas sobre cómo pensar en ello?

Answer 1

En términos sencillos, es simplemente la ley de Lenz :

La ley de Lenz, nombrada así en honor al físico Emil Lenz quien la formuló en 1834, establece que la dirección de la corriente eléctrica inducida en un conductor por un campo magnético cambiante es tal que el campo magnético creado por la corriente inducida se opone a cambios en el campo magnético inicial.

Es el principio básico detrás de todos los motores eléctricos, dinamos, alternadores, etc.

Wikipedia: Ley de Lenz

Answer 2

El signo negativo es lo que hace que las ecuaciones de Maxwell obedezcan la causalidad, ¡así que es algo bueno que esté ahí! Para ver esto, puede escribir las ecuaciones de Maxwell libres de fuentes con el signo de $\nabla \times \mathbf{E}$ revertido en la Ley de Ampère. Si entonces sigue la construcción estándar para extraer la ecuación de onda de las ecuaciones de Maxwell, obtendría que $$ \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2} + \nabla^2 \mathbf{E} = 0, $$ y de manera similar para $\mathbf{B}$. En otras palabras, no obtendríamos la ecuación de onda (que tendría un signo negativo en el primer término); obtendríamos en cambio una versión en 4 dimensiones de la ecuación de Laplace.

Las soluciones a la ecuación de Laplace no tienen las mismas propiedades de causalidad que las soluciones a la ecuación de onda. En términos matemáticos, las EDP son elípticas en lugar de hiperbólicas, y las EDP elípticas se comportan de manera bastante diferente que las EDP hiperbólicas en algunos aspectos importantes. Por ejemplo, supongamos que especificamos el valor de $\mathbf{E}$ en algún momento $t = 0$ en alguna región finita del espacio. Se puede demostrar que los cambios en estos datos iniciales causan cambios en la solución para $t > 0$ arbitrariamente lejos de nuestra región inicial "finita". En otras palabras, no hay un límite superior para la velocidad de propagación de la señal en dicho sistema.

Answer 3

La dualidad en realidad no es $\mathbf{E}\leftrightarrow \mathbf{B}$ (he usado $c=1$), es decir, $(\mathbf{E},\,\mathbf{B})\to(\mathbf{B},\,\mathbf{E})$. Es $(\mathbf{E},\,\mathbf{B})\to(-\mathbf{B},\,\mathbf{E})$. Definir $\mathbf{F}:=\mathbf{E}+i\mathbf{B}$ es una forma popular de comprobar esto; la dualidad anterior es $\mathbf{F}\to i\mathbf{F}$. Es instructivo calcular $\nabla\cdot\mathbf{F}$ y $\nabla\times\mathbf{F}-i\frac{\partial\mathbf{F}}{\partial t}$.

Answer 4

Realmente proviene de la relatividad, donde se utiliza el tensor de intensidad de campo:

$$ F_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A_{\nu}-\partial_{\nu}A_{\mu}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & E_x & E_y & E_z\\ -E_x & 0 & -B_z & B_x\\ -E_y & B_z & 0 & -B_y\\ -E_z & -B_y & B_x & 0\\ \end{array} \right)$$

Cuando se elevan los índices:

$$F^{\mu\nu}\equiv=\eta^{\mu\alpha}F_{\alpha\beta}\left(\begin{array}{cccc} 0 & -E_x & -E_y & -E_z\\ E_x & 0 & -B_z & -B_x\\ E_y & B_z & 0 & -B_y\\ E_z & -B_y & B_x & 0\\ \end{array} \right) $$

los términos temporales/espaciales y espaciales/temporales (campo E) cambian de signo, mientras que los términos espaciales/espaciales (campo B) recogen un factor de $(-1)^2=1$ gracias a $ \eta={\rm diag}(+,-,-,-)$.

La cuadricorriente es

$$ j^{\mu}=(\rho, {\bf J})$$

Las leyes de Gauss y Ampère se combinan en:

$$\partial_{\mu}F^{\mu\nu}=\mu_0j^{\nu}$$

donde está el ${\dot{\bf E}}$ y $\nabla \times {\bf B}$ tienen signos opuestos en el LHS.

Mientras tanto, la ley de Gauss-Faraday es:

$$\partial_{\mu}G^{\mu\nu}=0$$

(puedes agregar una corriente magnética en el RHS, si es necesario). Aquí $G$ es el tensor dual de Hodge:

$$G^{\mu\nu}=(\frac 1 2 \epsilon^{\mu\nu\sigma\lambda}F_{\sigma\lambda}) =\left(\begin{array}{cccc} 0 & -B_x & -B_y & -B_z\\ B_x & 0 & E_z & -E_x\\ B_y & -E_z & 0 & E_y\\ B_z & E_y & -E_x & 0\\ \end{array} \right) $$

para que ${\dot{\bf B}}$ y $\nabla \times {\bf E}$ tengan el mismo signo en el LHS.

Así que la culpa recae en el métrico $\eta_{\mu\nu}$ y en $\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta}$.

Answer 5

Lo que realmente debería preocuparte, no es el signo menos en $(3)$. ¡Es su ausencia en $(4)$!

El signo menos en $(3)$ en realidad evita un efecto descontrolado donde una corriente eléctrica inducida crearía un efecto de retroalimentación positiva en sí misma, resultando en una corriente eléctrica inestable y en constante crecimiento que: 1) probablemente destruiría tu planeta, y 2) violaría la conservación de la energía. El signo menos en $(3)$ es una consecuencia de la ley de Lenz, lo cual es algo bueno, y dado que en nuestro universo los monopolos magnéticos no parecen existir, la ausencia del signo menos en $(4)$ no causa ningún daño.

En un universo con monopolos magnéticos, debería esperarse que exista una especie de ley de Lenz para la corriente magnética, para prevenir que todas esas cosas malas ocurran o no habría mentes curiosas allí, para verificar si tu conjunto de ecuaciones existe. En otras palabras, en un universo con monopolos magnéticos, las ecuaciones de Maxwell probablemente se verían así:

$$\nabla \cdot \mathbf{E} = 4 \pi \rho_e \tag{1'}$$ $$\nabla \cdot \mathbf{B} = 4 \pi \rho_m \tag{2'}$$ $$-\nabla \times \mathbf{E} = \frac{\partial \mathbf{B}}{\partial t} + 4 \pi \mathbf{J}_m \tag{3'}$$ $$-\nabla \times \mathbf{B} = \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + 4 \pi \mathbf{J}_e \tag{4'}$$

Lo cual es la simetría perfecta que pareces estar buscando.

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EDITAR:

Por favor, ten en cuenta que la introducción de monopolos magnéticos no solo cambia la forma de las ecuaciones, sino que cambia profundamente el campo magnético en sí mismo. Mira el (2), ahora tenemos un campo magnético divergente $\mathbf{B}$ que es una generalización del "nuestro" campo magnético $\bar{\mathbf{B}}$. Ahora estás en la posición de hacer el descubrimiento de que la ley de Lenz de la corriente magnética implica $$\lim_{\rho_m \to 0} (-\nabla \times \mathbf{B})=\nabla \times \bar{\mathbf{B}} \tag{5'}$$ y $(5')$ es la razón por la que en nuestro universo, hay un signo menos en $(3)$ pero no en $(4)$.