Calcular el resultado de los polinomios $f(x)=x^2y+3xy-1$ y $g(x)=6x^2+y^2-4$

Question

Considera estos dos polinomios:

$$f=x^2y+3xy-1$$ $$g=6x^2+y^2-4$$

Necesito calcular su resultado, denotado en mi libro como $h=Res(f,g,x)$.

Aquí es donde necesito ayuda: configurando la matriz de Sylvester. Puede que me esté perdiendo algo obvio, pero de acuerdo a las definiciones que he leído en línea, seguía obteniendo una matriz como esta:

$X =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 6 & 0 & 0\\3 & 1 & 0 & 1 & 6 & 0\\-1 & 3 & 1 & -4 & 1 & 6\\0 & -1 & 3 & 0 & -4 & 1\\0 & 0 & -1 & 0 & 0 & -4\\\end{bmatrix}$

Lo que entiendo es que $X$ debería ser una matriz cuadrada. ¿Qué me falta?

Gracias de antemano.

ACTUALIZACIÓN:

¿Está más cerca de esto?

$X =\begin{bmatrix} y & 0 & 6 \\-1 & y & 0 \\0 & -1 & y^2-4 \\\end{bmatrix}$

Answer 1

Escribe tus polinomios como $$ yx^2+ (3xy)-1 $$ y $$ -6x^2+ (y^2-4) $$

Como polinomios en $x$, estos tienen grado dos, así que tu matriz debe ser una matriz de $4 \times 4$. $$ \begin{pmatrix} y & 3y & -1 & 0 \\ 0 & y & 3y & -1 \\ -6 & 0 & y^2-4 & 0 \\ 0 & -6 & 0 & y^2-4 \end{pmatrix} $$

Tomar el determinante da $$ y^{6}-62 y^{4}-12 y^{3}+232 y^{2}+48 y+36 $$

Esto también se puede calcular en Macaulay2 con los comandos:

i1 : R = QQ[x,y]

o1 = R

o1 : PolynomialRing

i2 : f1 = x^2*y+3*x*y-1

      2
o2 = x y + 3x*y - 1

o2 : R

i3 : f2 = -6*x^2+y^2-4

         2    2
o3 = - 6x  + y  - 4

o3 : R

i4 : resultant(f1,f2,x)

      6      4      3       2
o4 = y  - 62y  - 12y  + 232y  + 48y + 36

o4 : R