Creo que esto debería seguirse del hecho de que existe un emparejamiento perfecto $$\langle\cdot ,\cdot\rangle \colon H_1(X_0(N),\mathbb R)\times H^0(X_0(N),\Omega^1_{\mathbb C})\to \mathbb C$$ $$\langle\{\alpha,\beta\},f\rangle=\int_{\alpha}^{\beta}f$$ Aquí $\{\alpha,\beta\}$ es la clase de homología real en $X_0(N)$ de cualquier camino desde $\alpha$ a $\beta$ en $\mathcal H^*$ y $f$ es una cuspuesta de peso $2$ y el nivel $\Gamma_0(N)$ (bajo la identificación canónica de $H^0(X_0(N),\Omega^1_{\mathbb C})$ con $S_2(\Gamma_0(N))$ ).
Ahora hay un teorema que dice que para cualquier subgrupo de congruencia $G\leq \text{SL}_2(\mathbb Z)$ y cualquier $\alpha\in \mathcal H^*$ el mapa $$G\to H_1(X_G,\mathbb Z)$$ $$g\mapsto \{\alpha,g\alpha\}$$ es un homomorfismo de grupo sobreyectivo que no depende de $\alpha$ . (Para una demostración de esto, se puede consultar el artículo "Parabolic points and zeta-functions of modular curves" de Y.Manin). Esto implica que la imagen de su homomorfismo coincide con la imagen del homomorfismo $$\langle\cdot,f\rangle\colon H_1(X_0(N),\mathbb Z)\to \mathbb C$$ $$\gamma\mapsto \int_{\gamma}f$$ que se obtiene restringiendo el emparejamiento bilineal I definido anteriormente a $H_1(X_0(N),\mathbb Z)$ .
Editar: la conclusión era errónea, como notó Bruno.
Para más detalles sobre estos temas, puede consultar http://wstein.org/books/modform/modform/weight_two.html o en el bonito libro de W. Stein "Modular forms, a computational approach".
