Problema de resistor infinito desde el punto de vista de la teoría de grafos

Question

Estoy tratando de entender el problema de la red infinita de resistencias desde un punto de vista de teoría de grafos (problema clásico de xkcd/google). Dado que la resistencia efectiva es igual al tiempo de desplazamiento, esto realmente está preguntando cuántos pasos se espera que se necesiten para caminar desde el punto a en la red hasta el punto b y regresar (multiplicado por algunas constantes que no son importantes aquí).

Ahora estoy al tanto del resultado que dice que en una red infinita, a medida que el tiempo tiende a infinito, la probabilidad de llegar a un punto particular es 1. Sin embargo, leyendo (https://www.quora.com/What-is-the-expected-number-of-steps-to-reach-the-starting-position-again-in-a-2-dimensional-random-walk) me convence de que el número esperado de pasos también es infinito. Esto significa que la resistencia efectiva entre dos puntos debería ser efectivamente cero. Sin embargo, esto no parece ser la solución aceptada.

Por favor ayúdame a ver dónde se está rompiendo mi lógica.

Saludos, Pericles

Answer 1

Su afirmación de que "la resistencia efectiva es lo mismo que el tiempo de desplazamiento... multiplicado por algunas constantes que no son importantes aquí" es incorrecta. De hecho, el teorema exacto se encuentra aquí: "La resistencia eléctrica de un grafo captura sus tiempos de desplazamiento y de recubrimiento" - A. Chandra, P. Raghavan, W. Ruzzo, R. Smolensky, y P. Tiwari., que dice que:

$$C(a,b)=2mR(a,b),$$

donde $C(a,b)$ es el tiempo de desplazamiento entre los vértices $a,b$; $R(a,b)$ es la resistencia efectiva y $m$ es el número de aristas en el grafo. En el caso de una cuadrícula infinita, $m=\infty$.