¿Por qué la definición de un vector en la escuela secundaria como "una cantidad con magnitud y dirección" es incompleta? Por ejemplo, Griffiths Introducción a la Electrodinámica libro dice:
La definición de un vector como "una cantidad con magnitud y dirección" no es del todo satisfactoria. (sección 1.1.5 "Cómo transforman los vectores")
Sin embargo, no estoy muy satisfecho con su cadena de argumentos.
No tengo el libro para leer los argumentos de Griffiths, pero lo que causa confusión en esa definición de la escuela secundaria es cuando empezamos a usar vectores en superficies curvas. Por ejemplo, si un marinero mantiene la misma velocidad y la misma ruta de acuerdo con la brújula (digamos $221^\circ$), su vector de velocidad aparentemente siempre es el mismo, porque tiene la misma magnitud y dirección. Pero no es cierto, lo que es más evidente cerca de un polo.
La noción de vectores base, y cómo pueden cambiar de punto a punto, también es importante para su concepto. Sin embargo, cuando se presentan por primera vez en coordenadas cartesianas, la noción de vectores base parece superflua.
$\def\A{{\bf A}} \def\N{{\bf 0}}$Aquí hay una razón simple por la cual esta definición no es satisfactoria (sin tener nada que ver con las transformaciones): el vector cero no tiene dirección. Ten en cuenta que si $\A\ne\N$, entonces $\A = |\A|\hat \A$, donde $|\A|$ es la magnitud de $\A$ y $\hat \A = \A/|\A|$ es el vector unitario en dirección a $\A$, es decir, donde $\hat \A$ es la dirección de $\A$. (Ten en cuenta que $|\hat\A| = 1$ según esta definición). Por lo tanto, cada vector distinto de cero es una cantidad con magnitud y dirección. De hecho, es el producto de esas cantidades. Ahora, ten en cuenta que dado que $|\N| = 0$, la dirección del vector cero no está definida.
Buena pregunta; muchas discusiones básicas sobre vectores no explican claramente esto, en mi opinión. La definición que proporcionas es para un "vector libre"; específicamente, uno que depende solo de la dirección y la magnitud, y no de su ubicación absoluta en relación con el origen de un sistema de coordenadas. Los desarrollos de ingeniería distinguen entre vectores libres, acotados y deslizantes. Sin embargo, en física generalmente se tratan los vectores como libres; por ejemplo, al desarrollar las ecuaciones de movimiento en un marco no inercial que experimenta tanto traslación como rotación en relación con un marco inercial, los vectores son vectores libres. Por supuesto, el efecto de un vector depende de su ubicación; por ejemplo, para que una fuerza actúe sobre una partícula, el vector de fuerza debe estar ubicado en la posición de la partícula. El texto Introducción al análisis vectorial de Harry Davis tiene una buena discusión de los vectores en física tratados como vectores libres. Además, el texto Mecánica de Symon discute los vectores libres utilizados en física.
Además de esta respuesta, aquí hay otro argumento simple por qué la definición de vector no es satisfactoria. La corriente eléctrica en circuitos simples tiene tanto magnitud (Amperios en unidades del SI) como dirección (de positivo a terminal negativo o de alto a bajo potencial). Pero la corriente eléctrica no cumple ni con la ley del triángulo ni con la ley del paralelogramo de la suma de vectores. Por lo tanto, no puede ser considerada un vector.
De manera similar, hay muchas cantidades (de dimensiones superiores) que tienen magnitud y dirección pero no siguen la usual ley del triángulo de adición de vectores.
La definición no es satisfactoria porque los espacios vectoriales no vienen equipados con una noción de dirección o magnitud. La matriz $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0&1 \end{pmatrix} $$ define un automorfismo de $\mathbb{R}^2$ como un espacio vectorial, pero no preserva ni la magnitud ni la dirección (entendida como el ángulo entre vectores).
Para tener una noción de magnitud y dirección, necesitamos una métrica (producto interno), es decir, una forma bilineal simétrica no degenerada.
La confusión proviene de pensar siempre en los espacios vectoriales como teniendo un producto interno natural. Pero a menudo no hay un producto interno natural o incluso significativo. Por ejemplo, el conjunto de pares $(\text{\$ spent on apples}, \text{\$ spent on oranges})$ es un espacio vectorial perfectamente bueno e incluso útil. ¿Cuál debería ser la magnitud de tal vector? No hay una respuesta significativa.
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