¿Por qué la definición de un vector en la escuela secundaria como "una cantidad con magnitud y dirección" es incompleta? Por ejemplo, Griffiths Introducción a la Electrodinámica libro dice:
La definición de un vector como "una cantidad con magnitud y dirección" no es del todo satisfactoria. (sección 1.1.5 "Cómo transforman los vectores")
Sin embargo, no estoy muy satisfecho con su cadena de argumentos.
Es casi perfectamente satisfactorio. Primero, hay tres formas de introducir vectores:
Las tres definiciones son importantes y es importante entender cómo se relacionan entre sí. Las dos primeras formas son comunes en matemáticas de secundaria. La forma geométrica es magnitud con dirección y la segunda es axiomáticamente como un elemento de un espacio vectorial.
Griffiths dice que la definición geométrica es insatisfactoria, por lo que introduce la definición transformacional. Esto es importante porque así es como tradicionalmente se introducen los tensores. A menudo no es fácil verlo, ya que al mismo tiempo los tensores se introducen como tensores tangentes, por lo que hay una estructura adicional que complica la imagen. Pero en este nivel la estructura no es necesaria.
Sin embargo, en la electrodinámica de Griffiths no se utilizan tensores. Entonces, ¿por qué Griffiths introduce la definición transformacional? Esto se debe a que quiere introducir vectores axiales, también conocidos como vectores polares o pseudo-vectores. El vector magnético no es un vector ordinario, sino un vector axial. De hecho, el momento angular y el torque también son vectores axiales.
Definir un vector axial realmente requiere expandir la noción de un vector para incluir una representación del espacio vectorial. La representación requerida para un vector axial se llama la representación de signo, la representación más simple.
Por lo tanto, Griffiths tiene razón: la definición de un vector - y no solo la 'definición de la escuela secundaria' sino las tres definiciones - no es suficiente, es necesario una expansión para incluir una representación para modelar adecuadamente fenómenos físicos como la velocidad angular, momento angular y el vector magnético. A menudo esto no se hace explícito y resulta en bastante confusión.
¿Por qué la definición de un vector en la escuela secundaria como "una cantidad con magnitud y dirección" es incompleta?
La definición de vectores en la escuela secundaria se aplica a vectores euclidianos, o más generalmente, a vectores dentro de un espacio de producto interno. Sin embargo, la definición matemática de vectores y espacios vectoriales permite vectores que no poseen ni magnitud ni dirección.
Lo que Griffiths está tratando de decir es que un vector puede ser pensado como algo más que simplemente una lista de coordenadas que especifica una magnitud y dirección. Más bien, es un objeto que existe independientemente de un sistema de coordenadas elegido. Como tal, puede ser representado por un número infinito de listas diferentes de valores de coordenadas, dependiendo de la base elegida (asumo que estamos trabajando con espacios vectoriales sobre campos infinitos como los números reales). Visto de esta manera, es el conocimiento de cómo estas diferentes listas de coordenadas se transforman entre sí para describir el mismo objeto lo que define al vector. Esta noción de transformaciones de coordenadas no suele ser enfatizada en la descripción de la secundaria.
Esto originalmente iba a ser un comentario pero creo que en el contexto de la pregunta, específicamente en el libro Introduction to Electrodynamics de Griffiths, bien podría ser también la respuesta.
Intuitivamente, sí, un vector es "una cantidad con magnitud y dirección" pero hay un problema surgido debido a la naturaleza del vector que creo que nadie ha señalado hasta ahora: los vectores no se suman siguiendo reglas algebraicas. Tienen sus propias reglas de suma de vectores que deben seguirse.
Presentaré un contraejemplo a la "definición de la escuela secundaria", pero antes veamos un ejemplo clásico "de secundaria" de vectores. Considera dos fuerzas actuando sobre un objeto. Que una de ellas sea de 4N y la otra de 3N. Si las fuerzas son paralelas, perpendiculares y antiparalelas entonces la fuerza neta sobre el objeto sería de 7N, 5N, 1N respectivamente.
Este ejemplo es importante, porque ilustra que el ángulo depende de los vectores. En otras palabras, el efecto de un vector siempre cambia si los ángulos son cambiados.
Ahora, tomemos un ejemplo en electrodinámica que Griffiths aprobaría. Consideremos un cable con una corriente de 5A de Sur a Norte y otro cable con una corriente de 4A de Este a Oeste.
Ahora dejemos que los cables se encuentren en un punto y luego se unan en dirección Noroeste (añadiré una imagen más tarde). ¿Cuál es la corriente que lleva el cable resultante? Sin duda siempre será de 9A. Esto se debe a que la corriente se suma linealmente como resultado de la regla de corriente de Kirchhoff en lugar de "vectorialmente". En realidad, independientemente de hacia dónde apunte el cable resultante, la corriente resultante siempre será de 9A. Si no lo es, ¡eso implicaría que se viola la conservación de carga! Después de todo, la conservación de carga es la base de la primera regla de Kirchhoff.
¿Tienen la(s) corriente(s) tomada aquí una magnitud? Sí. ¿Tienen dirección? Sí. ¿Son vectores? No, porque esta cantidad física en particular no depende de los ángulos, ya que la carga es un escalar y siempre debe ser conservada. Sospecho que esto es a lo que se refería Griffiths cuando dijo que la definición de la escuela secundaria es incorrecta.
En conclusión, es importante seguir la suma de vectores para un vector. Implica que la naturaleza del vector también depende de la dirección. Si la cantidad no sigue la suma de vectores, entonces no es un vector aunque podamos asignarle una dirección.
El principal problema con "magnitud y dirección" es la pregunta de seguimiento: "¿Qué es una dirección?" Es algo que puede ser definido de manera única por un vector unitario. No muy satisfactorio, pero no peor que decir "Un vector es un elemento de un espacio vectorial".
La física de la que estamos hablando está formulada en el espacio Euclidiano, también conocido como ${\mathbb R}^3$, y las leyes físicas se presentan como relaciones entre objetos geométricos que representan las simetrías de ese espacio. Hay varios objetos que hacen eso, como el escalar por ejemplo. Dado que no cambia por rotaciones en el espacio, su representación es trivial.
El objeto geométrico no trivial más simple es el vector, de hecho en forma de vectores esféricos, que son estados propios de rotaciones, es la representación fundamental de las simetrías rotacionales de $SO(3)$, el grupo de rotaciones en ${\mathbb R}^3$. Eso es un poco complicado para la escuela secundaria, por lo que se nos presentan en su forma cartesiana, $(\hat x, \hat y, \hat z)$, donde tienen la interpretación de flechas unitarias ortogonales a partir de las cuales se pueden construir cualquier y todos los vectores. Dejando de lado eso como demasiado matemático, nos queda describirlos como cosas con magnitud y dirección, y eso realmente captura su esencia.
La magnitud no es un concepto difícil: si tienes una velocidad, $\vec v$, entonces la idea de $2\vec v$ es intuitiva. Todo estudiante debería tener una idea intuitiva de "dirección", y el hecho de que si rotas 180 grados, ahora estás en "la dirección opuesta", o si rotas un círculo completo de 360 grados, tu dirección no cambia, es de hecho una propiedad definitoria de los vectores. Además, es fácil ver por qué hay 3 vectores de base independientes.
Comparado con otros objetos geométricos que representan las simetrías del espacio, eso no es tan malo. ¿Cómo describirías un tensor de rango 2 natural? Tiene una alineación, pero no una dirección, tiene magnitud... también puede tener volumen. Además, hay 5 tensores de base. No muy intuitivo.
Mientras tanto, los espinors tienen magnitud y dirección... y un signo, así que es más que solo un vector... pero ¿solo hay 2 espinors de base? ¿Cómo funciona eso?
Entonces, "magnitud y dirección" no es tan malo.
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