Encontrando una equivalencia de homotopía entre las letras $X$ y $Y$

Question

Estoy tratando de demostrar que las letras $X$ e $Y$ son homotópicamente equivalentes pero estoy teniendo algunos problemas.

Si dejo que $f$ mapee tres ramas medias abiertas del $X$ en el $Y$ y la última rama cerrada en el centro del $Y$, y dejo que $g$ mapee tres ramas medias abiertas del $Y$ en las ramas medias abiertas del $X$ con el centro del $Y$ mapeado en el centro del $X$, ¿cuál sería una homotopía entre $g \circ f$ e $Id_{X}$ y una homotopía entre $f \circ g$ e $Id_{Y}$?

Answer 1

Puedes simplificar un poco la situación suponiendo que la letra $Y$ es un subespacio de $X. Luego obtienes un primer mapa natural $g:Y\to X$ que es simplemente la inclusión.

Así que ahora necesitas llevar la "pata derecha" de $X$ al centro. Sea $f:X\to Y$ ese mapa, tal como $f|_Y$ es simplemente la identidad.

Para concluir, primero necesitas demostrar que $f\circ g : Y\to X\to Y$ es homotópico a la identidad de $Y$, pero eso está claro ya que $f|_Y$ es la identidad. En segundo lugar, necesitas que $g\circ f : X\to Y \to X$ sea homotópico a la identidad de $X.

Eso no es muy difícil. Básicamente necesitas ver por qué esta homotopía es bastante similar a la que transporta el trayecto $\gamma(t)=t$ a $\delta(t) =0$.

Answer 2

Para tener espacios concretos para trabajar, sea $X = \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 : |x| \leq 1 \text{ and } y=\pm x \}$ como un subespacio del plano. Esto es simplemente la superposición de las gráficas de las líneas $y = \pm x$ restringidas al intervalo $[-1,1]$. Consideremos $Y = X \setminus \{ (x,-x) : x > 0 \}$ como un subespacio de $X$ (esto es simplemente $X$ con la pata inferior derecha eliminada). Tenemos la inclusión $i: Y \to X$. En la dirección opuesta, tenemos un mapa (llamado retracción) $r:X \to Y$ definido por $$ r(x,y) = \begin{cases}(x,y) & \text{si } (x,y) \in Y \\ (0,0) &\text{en otro caso} \end{cases}.$$

La idea es que $r$ empuja la pata inferior derecha de $X$ hacia el centro de la figura. Sin embargo, lo hace de una sola vez. Para convertir esto en un movimiento continuo, que lentamente empuja la pata inferior derecha hacia $X$, necesitamos proporcionar homotopías. Tenemos que $ri = 1_Y$ directamente, por lo que basta con la homotopía constante. Sin embargo, no es cierto que $ir = 1_X$, porque los puntos en la pata inferior derecha son mapeados al centro y nunca regresan a su posición original. Podemos construir una homotopía $ir \simeq_h 1_X$ de la siguiente manera: $h:X \times I \to X$ está definido por $$h((x,y),t) = \begin{cases}(x,y) & \text{si } (x,y) \in Y \\ t(x,y) &\text{en otro caso} \end{cases}.$$ Esta homotopía comienza en $ir$ y termina en la identidad $1_X$. Por lo tanto, hemos demostrado que $X$ y $Y$ tienen el mismo tipo de homotopía. (Siempre que verifiquemos que todos los mapas dados son continuos, lo cual te dejo como ejercicio. Se usa el lema de pegado para justificar la continuidad de mapas definidos por partes como $h$.)

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Observa que sería aún más fácil, o al menos más satisfactorio, simplemente mostrar que ambos espacios son contractibles, es decir, homotópicamente equivalentes a un punto. Para hacerlo, podemos usar el mismo tipo de argumento, mostrando que la inclusión del punto central y la retracción de ambas figuras hacia el punto central son inversos homotópicos. En este caso, la homotopía de $ir$ a $1_X$ o $1_Y$ toma la forma simple $h((x,y),t) = t(x,y)$, y esto funciona tanto para $X$ como para $Y$.