Condición de convergencia absoluta para el radio de convergencia

Question

Sea $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-t)^n$ una serie de potencias. Sea $X=\{|x-t|:\sum_{n=0}^{\infty}|a_n||x-t|^n$ converge$\}$. Sea $R$ la cota superior menos de $X$ si $X$ está acotado y sea $R=\infty$ si $X$ no está acotado. Demuestra que $R$ es el radio de convergencia de la serie $\sum_{n=0}^{\infty}a_n(x-t)^n$.

Si $b\in X$, entonces cualquier $a\in[0,b]$ también está en $X$ porque $a^n

Entonces supongamos que $|b|

Ahora supongamos que $|b|>R$. Entonces $\sum_{n=0}^{\infty}|a_n||b|^n$ diverge. Debemos demostrar que $\sum_{n=0}^{\infty}a_nb^n$ diverge. ¿Cómo podemos hacerlo?

Answer 1

Pista: Demuestra y utiliza el siguiente resultado:

Si una serie $\sum a_n z^n$ converge, entonces $\sum a_n (cz)^n$ converge absolutamente para cualquier $-1

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Pista adicional: Para demostrar lo anterior, notemos que debemos tener $a_nz^n$ acotado por algún $K$. Ahora, ¿cómo puedes reescribir la segunda suma con signos de valor absoluto?

Answer 2

Si $\sum a_n z^n$ converge, entonces ciertamente $\lim_{n \to \infty} a_n z^n = 0$. De hecho, todo lo que realmente necesitas saber es que los números $|a_n z^n|$ son eventualmente más pequeños que algún número positivo fijo. Por ejemplo, supongamos que $|a_n z^n| < 12$ cuando $n \geq 100$. Pero entonces, si $|w| <|z|$ y $n \geq 100$, obtenemos $|a_n w^n| = |a_n z^n| |\frac{w}{z}|^n \leq 12 |\frac{w}{z}|^n$ donde $|\frac{w}{z}| < 1$. Deberías ser capaz de deducir que $\sum a_n w^n$ converge absolutamente desde aquí utilizando lo que sabes sobre series geométricas.