En primer lugar, y dado que esta es mi primera pregunta en este foro, me gustaría especificar que no soy un matemático profesional (sino un profesor de filosofía); pido disculpas de antemano si hay algo incorrecto en mi pregunta.
Disfruto haciendo cálculos numéricos en mi tiempo libre, y al final del pasado verano estaba trabajando en algunas rutinas personales relacionadas con el mundo de ISC. Con la ayuda de estos fragmentos de código, detecté algorítmicamente varias identidades, entre las cuales la siguiente $$ \tanh z = \operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac{1 + \left((n-1) \frac{\pi}{4} z^{-1}\right)^2}{(2n-1) \frac{\pi}{4} z^{-1}} \tag{1} \label{1} $$
La notación anterior es la que utilizo; me resulta conveniente y se puede encontrar, por ejemplo, en Continued Fractions with Applications de Lorentzen & Waadeland, pero sé que a algunas personas no les gusta; tiene que leerse de la siguiente manera: $$ a_0 + \operatorname*{K}_{n=1}^{\infty} \frac{b_n}{a_n} = a_0 + \cfrac{b_1}{a_1 + \cfrac{b_2}{a_2 + \cfrac{b_3}{a_3 + \dotsb}}} $$
Esta fracción continua es útil cuando se utiliza para calcular la tangente hiperbólica de números como $\pi/4$ y otros múltiplos simples de $\pi$ ya que solo involucrará números enteros en la expansión de la fracción continua.
Por supuesto, investigué un poco para ver qué se sabía al respecto, por ejemplo aquí, pero no encontré nada similar. También lo envié a varios matemáticos profesionales, quienes me dijeron que podría ser difícil reconocer fácilmente si esta fracción continua era equivalente a alguna otra identidad o no.
No tengo las habilidades necesarias para estudiar más a fondo esta expresión, pero estaría muy contento de saber más al respecto: ¿es algo conocido? ¿Es algo que deriva trivialmente de alguna otra identidad? ¿Es (quién sabe?) algo nuevo?
Edit 1: Publicó una respuesta pensando que había encontrado algo nuevo; pero resulta que estaba relacionado con la precisión en el cálculo. Por esa razón, es posible que elimine esta respuesta en el futuro.
Edit 2: En esta edición voy a explicar más cómo llegué a la identidad y agregar un código que se puede utilizar para probar la identidad.
No voy a publicar mi código en C aquí porque es demasiado largo, pero realmente puedo compartirlo si alguien lo desea. Básicamente: programé a finales del verano pasado un programa en C que calculaba muy rápidamente millones de fracciones continuas aleatorias; cada una se calculaba hasta su 36° convergente; se comprobaba la convergencia observando la diferencia entre el 35° y el 36° convergente. Cualquier valor cuadrático se descartaba por no ser interesante para mi propósito. Los valores restantes se comparaban con todos los valores no cuadráticos en el catálogo de números reales de Shamos calculando el vector PSLQ para $[z,1,S]$ (donde $z$ era una fracción continua y $S$ un número del libro de Shamos). Usé un macro C higiénico personal para el algoritmo pslq que comparto aquí. La precisión al calcular el algoritmo PSLQ en números de doble precisión era "pobre" (alrededor de 12 dígitos) pero me centré en la velocidad para este proyecto. Cada vez que el algoritmo PSLQ devolvía un resultado interesante (baja norma del vector devuelto), la fracción continua se calculaba una segunda vez con el tipo dd de la biblioteca libqd de D.H. Bailey (solo unos 32 dígitos exactos pero mucho más rápido que cualquier biblioteca de precisión arbitraria; además, la precisión en el libro de Shamos es solo de 20 dígitos). Si los coeficientes devueltos anteriormente por el algoritmo PSLQ lograban encontrar nuevamente la relación con al menos 17 dígitos exactos, se imprimían los parámetros actuales. Hice que este programa se ejecutara durante varias semanas en tres núcleos de una Raspberry Pi 2 (que es bastante lenta pero puede realizar tareas largas sin calentarse). Los resultados tuvieron que ser generalizados posteriormente "a mano" cuando me di cuenta de valores similares. Lo que finalmente obtuve fue mucho más de lo que podría esperar. Lo anterior es uno de esos resultados.
A continuación se muestra un código para Maxima (utilizando los tipos bfloat):
/* Definir la precisión de la computación con números bfloat */
fpprec: 1024$
/* calcular el n-ésimo convergente de la fracción continua en x */
K(x,n) := block([ a,b,p1:1,p2:0,q1:0,q2:1],
for k:1 thru n do (
/* calcular el k-ésimo denominador parcial como a */
a:bfloat((2*k-1)*%pi/4/x),
/* calcular el k-ésimo numerador parcial como b */
b:bfloat(1+((k-1)*%pi/4/x)^2),
/* calcular el k-ésimo convergente como p2/q2 */
p:a*p2+b*p1, q:a*q2+b*q1,
/* desplazar los valores para simular la operación de matriz */
p1:p2, p2:p, q1:q2, q2:q), p/q);Puedes probarlo en línea usando este enlace (solo cambia el valor al final del código una vez que se haya cargado la página).
En una futura edición agregaré algunos gráficos que ilustren la convergencia de la fracción continua en \eqref{1} cuando el número de numeradores (denominadores) parciales tiende a infinito.
Edit 3:
Aquí hay un gráfico que muestra la convergencia de la fracción continua en comparación con la clásica para $\tanh$. La abscisa es el rango del convergente (el último valor de $n$ en la fórmula anterior):
