Dadas las rectas $r_1, r_2$, encuentra un punto $A$ en $r_1$ y un punto $B$ en $r_2$ tal que el vector $\vec{AB}$ sea ortogonal a ambas rectas

Question

Declaración del problema original (En español)

Dadas las rectas $r_1$, $r_2$ encuentra un punto $A$ en $r_1$ y un punto $B$ en $r_2$ de modo que el vector $\vec{AB}$ sea ortogonal a ambas rectas

He determinado que r1, r2 son:

$r_1: (7,0,7) + \lambda(-2,1,-1)$

$r_2: (2,5,0) + \alpha(0,0,1)$

Luego, procedí a encontrar el vector normal $\,\vec{n}\,$ entre el vector de cada recta (mediante producto cruz)

$\vec{n}=(-1,-2,0)$

Ahora, no estoy seguro de qué hacer a partir de aquí. A través de Geogebra he verificado que el vector n es efectivamente ortogonal a ambas rectas, y que ambas rectas son correctas.

Intenté mediante la siguiente ecuación de recta:

$(x_1,y_1,z_1) + \lambda(-1,-2,0) = (x_2,y_2,z_2)$

Pero no llegué a ningún lado con esto.

Answer 1

Forma las ecuaciones paramétricas para ambas líneas. Ahora, dado que el vector AB es ortogonal a ambas líneas, utiliza la propiedad de que los vectores ortogonales tienen un producto punto de 0. Utiliza esta propiedad y realiza el producto punto del vector AB dos veces; con el vector dirección de la primera línea y la segunda línea respectivamente para obtener los valores de parámetros deseados y por lo tanto los puntos requeridos. Que tengas un buen día.

Answer 2

Pista: Toma un vector general $\vec{AB}$

$$\vec{AB}=\begin{pmatrix}5-2\lambda\\-5+\lambda\\7-\lambda-\alpha\end{pmatrix}.$$ Ahora puedes proceder de dos maneras:

1. Nota que $\vec{n}$ y $\vec{AB}$ deben ser paralelos y por lo tanto $\mu\vec{n}=\vec{AB}$ y ahora resuelves para los parámetros.
2. $\vec{AB}$ por definición debe ser perpendicular tanto a $\vec{d_{r_1}}$ como a $\vec{d_{r_2}}$, por lo tanto, el producto punto debe ser cero con ambos, lo que te lleva a un sistema de ecuaciones simple de 2 variables.