¿Deben ser obligatoriamente Hermitianos los observables solo porque queremos autovalores reales, o hay algo más en ello?

Question

Porque (después de una larga ausencia universitaria) me encontré recientemente con los operadores de campo nuevamente en mis clases de QFT (que no necesariamente son Hermitianos):

¿Cuál es el problema con los observables representados por operadores no-Hermitianos (por observables, obviamente no me refiero al significado tautológico de "operadores Hermitianos")?

Un problema seguro es que no tienen autovalores reales. Pero si digo que quiero "medir" alguna cantidad compleja, eso solo no debería ser un problema, estaría bien con autovalores complejos entonces.

Esta pregunta responde diciendo que los operadores son Hermitianos "si y solo si es diagonalizable en una base ortonormal con autovalores reales". Esto aún no parece ser un obstáculo para mí, siempre y cuando aún obtenga una base ortonormal.

Y dividiendo un operador arbitrario $\hat{O}$ en una parte Hermitiana y una anti-Hermitiana, eso correspondería a la parte real e imaginaria del observable, podría tomar valores esperados sin problemas.

Pero tal vez me estoy olvidando de algo, y existen otras buenas razones por las cuales los operadores no-Hermitianos llevarán a problemas tan serios.

Answer 1

Dado un espacio de Hilbert separable que subyace a un sistema cuántico, los observables en este sistema son los operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert. La razón por la que deben ser autoadjuntos es que el espectro de un operador es real si, y solo si, el operador es autoadjunto. El espectro de un operador es el conjunto de posibles valores de medida que puedes esperar medir en un experimento. Los autovalores de un operador son un subconjunto de su espectro.