Generadores de $\sigma$-álgebras relativas

Question

Sea $(X,\mathscr B)$ un espacio medible. Para algún $Y\subseteq X$, $Y\in\mathscr B$ y definimos $$\mathscr B_Y\equiv\{Y\cap B\,|\,B\in\mathscr B\}$$ para ser la "σ-álgebra relativa" en $Y$ inducida por $\mathscr B$. No es difícil comprobar que $\mathscr B_Y$ es una σ-álgebra legítima en $Y.

Supongamos que $\mathscr G\subseteq\mathscr B$ genera la σ-álgebra $\mathscr B$. Si uno define $$\mathscr G_Y\equiv\{Y\cap G\,|\,G\in\mathscr G\},$$ ¿es cierto que el "conjunto generador relativo" $\mathscr G_Y$ genera la σ-álgebra relativa $\mathscr B_Y$ en $Y$?

Answer 1

Lo siento por el duplicado.

Es cierto. Sea $\sigma_Y(\mathscr G_Y)$ la $\sigma$-álgebra generada por $\mathscr G_Y$ en $Y$. Dado que $\mathscr G_Y\subseteq\mathscr B_Y$, es claro que $\sigma_Y(\mathscr G_Y)\subseteq\mathscr B_Y$. En cuanto a la otra dirección, sea $$\mathscr H\equiv\{B\subseteq X\,|\,Y\cap B\in\sigma_Y(\mathscr G_Y)\}.$$ Claramente, $\mathscr G\subseteq\mathscr H$ y es fácil ver que $\mathscr H$ es una $\sigma$-álgebra en $X$. Por lo tanto, $\mathscr B\subseteq \mathscr H$. Esto implica fácilmente que $\mathscr B_Y\subseteq\sigma_Y(\mathscr G_Y)$.