Se me pide que dé un ejemplo de una función que está acotada en $A=[0,1]$ pero no alcanza su ínfimo o supremo, es decir, no existe $y\in A$ tal que $f(y)=\sup\{f(x)\mid x\in A\}$ y lo mismo con el ínfimo.
Claramente, dado que tengo un dominio compacto y conexo, es necesario que tal función sea discontinua.
Se me ocurrió la idea de definir $f$ de la siguiente manera: \begin{align} f(x)=\begin{cases} \frac{1}{2^{k}}-1 &\text{si }x=\frac{m}{2^{k}},\, 0
Nuevamente, está claro que esto no es continuo ya que los racionales son densos en $[0,1]$. El ínfimo y supremo son $-1,1$ respectivamente.
Pero mi felicidad terminó cuando vi que tal vez el supremo e ínfimo se alcanzan ya que cada racional de esa forma está en $[0,1]$. Si esto es cierto, ¿qué otro ejemplo de tal función se puede construir? Gracias de antemano.
