Sigo ejercitándome con procedimientos de sumación que intento hacer correctas sumas de Ramanujan. Estoy mirando la serie (de brecha) $$ s(1/2,2) = (1/2)^1+(1/2)^{4}+(1/2)^{9}+(1/2)^{16}+(1/2)^{25}+... $$ y de manera más general $$ s(b,p) = b+b^{2^p}+b^{3^p}+b^{4^p}+b^{5^p}+... \tag 1$$ Para el caso convergente donde $0
Por otro lado, expandiendo esa suma formal en una doble serie de una serie formal de series exponenciales en $x$ y recolectando como potencias del argumento $x$ obtuve algo similar a una sumación de Ramanujan (donde solo expreso los números de Bernoulli en la fórmula de Ramanujan por las referencias zeta equivalentes en argumentos negativos).
Así que defino las expresiones $$ \begin{eqnarray} I(b,p)&=& \int_{t=- 1}^\infty b^{(1+t)^p} dt \\ Z(b,p)&=& \sum_{k=0}^\infty \beta^k {\zeta(-pk) \over k!} \qquad \text{ donde } \beta = \log(b) \end{eqnarray} \tag 2$$ Entonces el método de sumación $\mathcal Q$ $$ s(b,p) \underset{\mathcal Q}= I(b,p) + Z(b,p) \tag 3$$ da para los casos de convergencia anteriores $s(1/2,1),s(1/2,2)$ los resultados correctos por aproximaciones numéricas. (El segundo caso es convergente porque cada zeta en argumento negativo par es cero). $$ \begin{eqnarray} I(1/2,1) &=& + 1.44269504089... \\ Z(1/2,1) &=& -0.44269504089...\\ s(1/2,1) &\underset{\mathcal Q}=& \phantom + 1\\ \hline\\ I(1/2,2) & =& + 1.06446701943... \\ Z(1/2,2)&=& -0.5\\ s(1/2,2)&\underset{\mathcal Q}=& \phantom + 0.56446701943... \end{eqnarray}$$.
También varios ejemplos con otros parámetros, donde todo en el método $\mathcal Q$ es convergente parece aproximar los resultados tomados por la evaluación en serie de (1) correctamente. Para el caso $s(1/2,3)$ la suma $Z(1/2,3)$ en (2) ya no es convergente. Sin embargo, utilizando una sumación de Noerlund $\mathcal N$ para esa expresión pude aproximar satisfactoriamente el resultado esperado (tomado por la evaluación de (1)). $$ \begin{eqnarray} I(1/2,3) & =& + 1.00901976692... \\ Z(1/2,3)&\underset{\mathcal N}=& -0.50561...\\ s(1/2,3)&\underset{\mathcal Q}=& \phantom + 0.50340...\\ \hline \\ s(1/2,3)&=& \phantom + 0.503906257 \text{ mediante sumación serial } \end{eqnarray}$$.
Así que quizás esto permita mayor generalización.
P1: ¿Es esta ecuación (2) una reconstrucción válida de la sumación de Ramanujan, al menos en principio?
P2: Los límites de integración fueron experimentales. ¿Son correctos? y de ser así, ¿cómo podría haberlos derivado correctamente?
[actualización 1]: Debe haber algún error sistemático. Para todos los pares $p=2q$ la suma de las zetas $Z(1/2,2 \cdot q) =-1/2 = \zeta(0) $ y la suma correcta $s(1/2,2\cdot q) = 1/2 + \delta $ es siempre mayor que $1/2$. Por lo tanto, se requiere que $$I(1/2,2\cdot q)= s(1/2,2\cdot q) - Z(1/2,2 \cdot q) = 1 +\delta$$
Pero ahora, por Wolframalpha veo que $$ \int_{t=-1}^\infty 1/2^{(1+t)^p} dt = { \Gamma(1+1/p)\over \sqrt[p]{\log 2} } $$ que disminuye por debajo de $1$ en $p \approx 3.44395$ por lo que para todos los $p=4,6,8,...$ la sumación $\mathcal Q$ no puede sostenerse.
Hmm...
[actualización 2, actualización 3] Aquí hay algunos datos que muestran una muy buena aproximación para la sumación $\mathcal Q$ con la sumación serial para valores pequeños de $p$ de $p=0.1 \ldots 1.2$ con errores $ \lt 1e-100$. $$ \small \begin{array} {r|rrl} p & s(1/2,p) & err &=s(1/2,p) - (I(1/2,p)+Z(1/2,p) \\ \hline 0.1 & 141745219.752 & -4.00E-156 \\ 0.2 & 749.678969635 & 2.82E-167 \\ 0.3 & 31.0876588123 & 4.18E-166 \\ 0.4 & 7.95318949339 & 1.33E-164 \\ 0.5 & 3.78821923065 & -1.96E-162 \\ 0.6 & 2.37977624581 & 9.16E-160 \\ 0.7 & 1.72998968339 & -2.28E-156 \\ 0.8 & 1.37118947539 & -6.79E-152 \\ 0.9 & 1.14893798357 & -4.14E-146 \\ 1.0 & 1.00000000000 & 5.69E-139 \\ 1.1 & 0.89438296309 & -1.18E-128 \\ 1.2 & 0.81625996055 & 2.25E-114 \\ &&& \text{errores muy pequeños - quizás la sumación $\mathcal Q$ es válida? }\\ \vdots \\ 1.7 & 0.61712884341 & 2.28 E-18 & \text{usando sumación de Borel}\\ 1.8 & 0.59639864943 & -1.27 E-11 \\ 1.9 & 0.57905393685 & -0.0000000385 \\ &&& \text{los errores aumentan - la sumación $\mathcal Q$ tiende a volverse inválida? }\\ \vdots\\ 3.0 & 0.503906257 \phantom {00} & 0.00040176 & \text{Z(1/2,p) por sumación de Noerlund/Borel } \end{array} $$ Debido a la convergencia muy lenta en los valores pequeños de p utilicé la función de Pari/GP sumpos que parece ser capaz de aproximar el valor real evitando el cálculo de millones de términos en la sumación serial (1). Para el parámetro $p \gt 1.5$ verifiqué la sumación de Noerlund para $Z(1/2,p)$ mediante sumación de Borel.
