Enlace entre el momento de generación de la función y la función característica

Question

Estoy tratando de entender el vínculo entre el momento de generación de la función y la función característica. El momento de generación de función se define como: $$ M_X(t) = E(\exp(tX)) = 1 + \frac{t E(X)}{1} + \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \puntos + \frac{t^n E(X^n)}{n!} $$

El uso de la expansión de la serie de $\exp(tX) = \sum_0^{\infty} \frac{(t)^n \cdot X^n}{n!}$, me pueden encontrar en todos los momentos de la distribución de la variable aleatoria X.

La función característica se define como: $$ \varphi_X(t) = E(\exp(itX)) = 1 + \frac{E(X)}{1} - \frac{t^2 E(X^2)}{2!} + \ldots + \frac {()^n E(X^n)}{n!} $$

No entiendo qué información el número imaginario $i$ me da más. Veo que $i^2 = -1$ y por lo tanto no tenemos sólo $+$ en la función característica. Pero, ¿por qué tenemos que restar los momentos en que la función característica? ¿Cuál es la idea matemática?

Answer 1

Como se ha mencionado en los comentarios, característica de las funciones de existir siempre, porque requieren de la integración de una función de módulo de $1$. Sin embargo, en el momento de generación de función no existe porque, en particular, requiere de la existencia de momentos de cualquier orden.

Cuando sabemos que $E[e^{tX}]$ es integrable para todos los $t$, podemos definir a la $g(z):=E[e^{zX}]$ para cada número complejo $z$. Entonces nos damos cuenta de que $M_X(t)=g(t)$$\varphi_X(t)=g(it)$.