Let $a_1=\sqrt{6},a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$. Find $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-3)6^n$.

Question

Deje $a_1=\sqrt{6}$, $a_{n+1}=\sqrt{6+a_n}$. Encuentre $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-3)6^n$.

Primero, podemos obtener $\lim\limits_{n\to \infty}a_n=3$. Por lo tanto, $\lim\limits_{n \to \infty}(a_n-3)b^n$ pertenece a un tipo de límite con la forma $0 \cdot \infty$.

Además, obtuvimos un resultado similar aquí, que está relacionado con la forma $\lim\limits_{n \to \infty} (a_n-3)9^n$.

¿Cómo debo proceder?

Answer 1

Encontré un posible enfoque numérico compatible con Gabriel Romon arriba. Calcular $a_n$ para $n=0,1,2,...,10$.

Definir $q_n=(3-a_n)6^{n}$.

Luego, $\ln(1-\frac{q_n}{q_{n+1}})$ puede ajustarse con una línea recta como función de $n$ teniendo $r^2=0.9983$.

Si se toma el argumento del logaritmo natural aquí como la razón de la primera derivada a la función misma, esto implica que $q(n)$ es una doble exponencial.

Es decir:

$$q_n=(3-a_n)6^n \approx q(n)= c_1e^{(\frac{e^b}{m}e^{mn})}$$

donde m y b son la pendiente y la intersección respectivamente para la mencionada línea, y $c_1$ es una constante.

En mis modelos, m=-1.8368, b = -0.4174.

Esto sugiere que $c_1$ es el límite en cuestión y ajustar $q(n)$ contra $q_n$ producirá $c_1$, aproximando el resultado deseado, sin embargo hasta ahora mis intentos dan un valor de aproximadamente 4.27.

Answer 2

Con $b_n:=(a_n-3)6^{n}$ reescribimos

$$6^{-n-1}b_{n+1}+3=\sqrt{6+6^{-n}b_n+3}$$

y

$$b_{n+1}=6^{n+1}\left(\sqrt{9+6^{-n}b_n}-3\right)=\frac{6b_n}{\sqrt{9+6^{-n}b_n}+3}$$

con $b_1=6(\sqrt 6-3)$. Esto demuestra que si $b_n$ converge, converge a un valor negativo. Dado que el denominador es asintótico a $a+6^{-n}c$, debería ser posible encontrar un límite superior y demostrar la convergencia.