Tengo un amigo que tiene una fuerte aversión hacia la geometría algebraica en general. Él dice que es porque se trata de polinomios y odia los polinomios. Intento explicarle sobre la geometría algebraica moderna, la teoría de esquemas y especialmente el enfoque relativo, cosas como los espacios algebraicos y las pilas, etc., pero aún así él piensa que suena estúpido. Para mí, este tema es muy atractivo y creo que es una de las teorías más hermosas de las matemáticas, y eso es suficiente para que la ame, pero en nuestra última conversación al respecto, me preguntó cómo la visión moderna de la geometría algebraica ha sido útil o ha dado resultados interesantes en las matemáticas fuera de la propia geometría algebraica. Supongo que como no pude convencerlo de que simplemente estudiarlo era interesante, quería saber por qué más querría estudiarlo si no va a ser un geómetra algebraico. Pero me encontré incapaz de darle una buena respuesta que implicara algo fuera de la geometría algebraica o la teoría de números (que a él le desagrada aún más que los polinomios). A él realmente le gusta la topología algebraica y la teoría de homotopía, y dice que quiere aprender más sobre los enfoques categóricos de la topología algebraica y también está interesado en la geometría diferencial y no conmutativa debido a sus aplicaciones a la física matemática. Sé que recientemente ha habido mucha superposición entre la topología algebraica/teoría de homotopía y la geometría algebraica (teoría de homotopía A1 y similares), y aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de cuerdas/simetría de espejo y la escuela de geometría no conmutativa de Konstevich. Sin embargo, estoy lejos de estar calificado para explicar cualquiera de estas cosas y solo he recogido lo suficiente para saber que serán extremadamente interesantes para mí cuando llegue al punto en el que pueda entenderlos, pero eso no es una respuesta satisfactoria para él. No sé lo suficiente como para explicar realmente cómo la geometría algebraica moderna ha afectado las matemáticas fuera de sí misma y de la teoría de números lo suficiente como para despertar interés en alguien que no lo encuentra intrínsecamente interesante.
Por lo tanto, mis preguntas son específicamente las siguientes:
¿Cómo se explicaría cómo la visión moderna de la geometría algebraica ha afectado o inspirado o de alguna manera ha avanzado en las matemáticas fuera de la geometría algebraica y la teoría de números? ¿Cómo se explicaría por qué la geometría algebraica moderna es útil e interesante para alguien que no está en absoluto interesado en la geometría algebraica clásica o la teoría de números? Específicamente, ¿por qué debería a alguien que quiere aprender topología algebraica moderna/teoría de homotopía importarle o apreciar la geometría algebraica moderna? No estoy seguro si esto debería ser CW o no, así que dime si debería serlo.
