¿Cómo ha afectado la geometría algebraica moderna a otras áreas de las matemáticas?

Question

Tengo un amigo que tiene una fuerte aversión hacia la geometría algebraica en general. Él dice que es porque se trata de polinomios y odia los polinomios. Intento explicarle sobre la geometría algebraica moderna, la teoría de esquemas y especialmente el enfoque relativo, cosas como los espacios algebraicos y las pilas, etc., pero aún así él piensa que suena estúpido. Para mí, este tema es muy atractivo y creo que es una de las teorías más hermosas de las matemáticas, y eso es suficiente para que la ame, pero en nuestra última conversación al respecto, me preguntó cómo la visión moderna de la geometría algebraica ha sido útil o ha dado resultados interesantes en las matemáticas fuera de la propia geometría algebraica. Supongo que como no pude convencerlo de que simplemente estudiarlo era interesante, quería saber por qué más querría estudiarlo si no va a ser un geómetra algebraico. Pero me encontré incapaz de darle una buena respuesta que implicara algo fuera de la geometría algebraica o la teoría de números (que a él le desagrada aún más que los polinomios). A él realmente le gusta la topología algebraica y la teoría de homotopía, y dice que quiere aprender más sobre los enfoques categóricos de la topología algebraica y también está interesado en la geometría diferencial y no conmutativa debido a sus aplicaciones a la física matemática. Sé que recientemente ha habido mucha superposición entre la topología algebraica/teoría de homotopía y la geometría algebraica (teoría de homotopía A1 y similares), y aplicaciones de la geometría algebraica a la teoría de cuerdas/simetría de espejo y la escuela de geometría no conmutativa de Konstevich. Sin embargo, estoy lejos de estar calificado para explicar cualquiera de estas cosas y solo he recogido lo suficiente para saber que serán extremadamente interesantes para mí cuando llegue al punto en el que pueda entenderlos, pero eso no es una respuesta satisfactoria para él. No sé lo suficiente como para explicar realmente cómo la geometría algebraica moderna ha afectado las matemáticas fuera de sí misma y de la teoría de números lo suficiente como para despertar interés en alguien que no lo encuentra intrínsecamente interesante.

Por lo tanto, mis preguntas son específicamente las siguientes:

¿Cómo se explicaría cómo la visión moderna de la geometría algebraica ha afectado o inspirado o de alguna manera ha avanzado en las matemáticas fuera de la geometría algebraica y la teoría de números? ¿Cómo se explicaría por qué la geometría algebraica moderna es útil e interesante para alguien que no está en absoluto interesado en la geometría algebraica clásica o la teoría de números? Específicamente, ¿por qué debería a alguien que quiere aprender topología algebraica moderna/teoría de homotopía importarle o apreciar la geometría algebraica moderna? No estoy seguro si esto debería ser CW o no, así que dime si debería serlo.

Answer 1

Como otros han sugerido, tu amigo está confundiendo las cosas. Es como un martillo preguntando para qué sirve un carpintero.

Dado un campo (de matemáticas, por ejemplo), típicamente hay algunos campos que son más estructurados que otros y otros que son menos estructurados. En matemáticas, la gente suele decir que los más estructurados son "más difíciles" y los menos estructurados son "más suaves". Por ejemplo, en orden creciente de dificultad, tenemos conjuntos, espacios topológicos, variedades topológicas, variedades diferenciales, variedades complejas, variedades algebraicas complejas, variedades algebraicas sobre los números racionales, variedades algebraicas integrales. Estos están en un orden lineal, pero si incluyes otras materias, obtendrás un orden no lineal. (La geometría algebraica p-ádica y la geometría riemanniana vienen a la mente de inmediato.)

(Creo que Gromov tiene algunas observaciones al final de una conferencia del ICM donde habla de esto y da otros ejemplos. Además, no confundas 'más difícil' y 'más suave' en este sentido con lo que significan en las ciencias, que es básicamente 'más preciso' y 'menos preciso'. Por ejemplo, en ciencias la gente dice que la biología es más suave que la química. De hecho, los dos significados son opuestos porque en ciencias, los objetos más estructurados son menos adecuados para un análisis preciso. Pero esto típicamente no es el caso en matemáticas.)

Ahora, dado un tema S y un tema más difícil H, generalmente es cierto que la mayoría de los objetos en S no admiten la estructura de un objeto en H. Por ejemplo, la mayoría de las variedades topológicas no admiten una estructura compleja. Por otro lado, para los objetos de S que sí admiten dicha estructura, su teoría desde el punto de vista de H suele ser mucho más rica que desde el punto de vista de S. Por ejemplo, el estudio de las superficies de Riemann como espacios topológicos es menos rico que su estudio como variedades complejas. Podrías decir que los temas más suaves son amplios y flexibles y los más difíciles son ricos y rígidos. Los matemáticos tienden a ver los temas más suaves que su especialidad como tontería general, y los más difíciles como excesivamente particulares.

Esto no quiere decir que un campo suave sea más fácil o menos interesante que uno más difícil. Aunque es cierto que la pregunta directamente análoga en el tema suave es más fácil (por ejemplo, clasificar las superficies de Riemann topológicamente en lugar de holomórficamente), solo significa que las personas en el tema suave pueden avanzar y estudiar objetos más sofisticados. Así que simplemente se atascan más tarde en lugar de más temprano. Por ejemplo, en los últimos 50 años, una gran fracción de los mejores teóricos de números han estado estudiando curvas elípticas sobre cuerpos numéricos. Ahora, las curvas elípticas sobre los números complejos son mucho más fáciles (creo que no ha habido muchos avances nuevos desde el siglo XIX), así que los geométricos algebraicos simplemente pasaron a géneros más altos o más dimensiones y se enfrentan a los problemas allí, problemas que están muy fuera de alcance en presencia de estructura aritmética.

El punto principal aquí es que los temas suaves suelen ser inventados para desglosar el estudio de los temas más difíciles en piezas más pequeñas. (Esto es seguramente algo así como un mito de la creación, pero con bastante verdad). Por ejemplo, los números reales fueron inventados para desglosar el estudio de ecuaciones polinómicas en dos pasos: cuando un polinomio tiene una solución real y cuando esa solución real es racional. Sé muy poco sobre el análisis moderno, pero creo que gran parte de él se inventó para hacer lo mismo con las ecuaciones diferenciales. Primero encuentras soluciones en cierto sentido suave y luego ves si proviene de una solución en el sentido más difícil de interés original.

Así que el papel de los temas suaves es ayudar en el estudio de los más difíciles: la gente generalmente no pregunta por aplicaciones de ecuaciones diferenciales parciales al estudio de espacios vectoriales topológicos, pero se considera una marca de respetabilidad pedir lo contrario. De manera similar, nadie habla de aplicaciones de ingeniería a las matemáticas. Dado que la geometría algebraica está en el extremo difícil del espectro arriba, no hay muchos campos en los que sea natural pedir aplicaciones. La teoría de números, o la geometría algebraica aritmética, es más difícil y, por supuesto, hay millones de aplicaciones allí, pero eso no es lo que tu amigo quiere. Casi todos los matemáticos trabajan en un tema que es más suave que algunos y más difícil que otros (y si incluyes temas no matemáticos, entonces todos los matemáticos lo hacen). Todo está bien: se necesita toda una cadena alimenticia para formar un ecosistema. Pero es confuso preguntar sobre el valor nutricional de algo que típicamente te come a ti.

[Esta imagen de las matemáticas es, por supuesto, simplista. Hay ejemplos de temas difíciles con aplicaciones a temas más suaves. Ver la respuesta de Donu Arapura, por ejemplo. También hay aplicaciones de la geometría algebraica aritmética a la geometría algebraica compleja. Por ejemplo, la prueba del teorema de Ax-Grothendieck de Grothendieck, o la prueba del teorema de descomposición para haces perversos usando la teoría de pesos y las conjeturas de Weil. Pero creo que es justo decir que tales aplicaciones son la excepción---y se valoran por eso---en lugar de la regla.]

Answer 2

Suelo evitar preguntas como esta, pero por alguna razón estoy despierto a una hora extraña sin nada mejor que hacer. Y las noticias son demasiado deprimentes. De hecho, estoy de acuerdo con tu amigo, "geometría algebraica" suena un poco aburrido. Deberíamos haber encontrado un nombre más genial, pero es demasiado tarde.

De todas formas, aquí tienes algo. Digamos que tienes una superficie de Riemann compacta equipada con una métrica de curvatura positiva. Entonces, por Gauss-Bonnet, la característica de Euler es positiva. Por lo tanto, según los hechos básicos sobre superficies de Riemann, debe ser la esfera de Riemann. Ahora considera una versión de dimensiones más altas. Supongamos que $X$ es una variedad compleja compacta con una métrica Kähler con curvatura positiva en un sentido adecuado (es decir, curvatura biseccional positiva). Entonces, Frankel conjeturó que debe ser un espacio proyectivo. Hay dos demostraciones, una debido a Siu y Yau que utiliza mapas armónicos y otra debido a Mori que utiliza geometría algebraica en característica positiva. Para la segunda demostración, primero observa que $X$ es algebraicamente proyectivo por el teorema de la incrustación de Kodaira. Luego, la condición de curvatura implica que el haz tangente es positivo en el sentido de la geometría algebraica (es decir, amplio). Mori demostró que los espacios proyectivos son las únicas variedades con haz tangente positivo. Se necesita teoría de esquemas para trasladar el problema a la característica $p$, donde tiene lugar el argumento principal.

Answer 3

Por lo general, funciona al revés: las cosas aparecen en la topología primero y luego las personas se dan cuenta de que esas cosas pueden tener análogos en la geometría algebraica. La cohomología étale es quizás el ejemplo más conocido.

Pero déjame dar un contraejemplo (escribí algo similar como un comentario a una pregunta reciente pero no puedo encontrarlo ahora). En topología hay la fórmula de Lefschetz, que expresa la suma alternada de las trazas de los endomorfismos de cohomología inducidos por una autotransformación suave de una variedad suave en términos de las contribuciones locales de los puntos fijos, suponiendo que estos no sean degenerados. Hay una generalización de esto para autotransformaciones de complejos finitos CW arbitrarios. La contribución de cada punto fijo es local, es decir, se puede determinar mirando el mapa en un vecindario arbitrariamente pequeño del punto. En particular, si no hay puntos fijos, la suma alternada de las trazas es cero.

Inspirado en esto, Grothendieck demostró en SGA 5 una versión algebraica de la fórmula de Lefschetz, sin suposiciones de suavidad o completitud. También funciona para haces más generales que el haz constante. Inspirados en esto, Goresky y MacPherson dieron una versión topológica de la fórmula, que, bajo algunas suposiciones, permite calcular la contribución de cada componente del conjunto de puntos fijos. Consultar "The local contribution to the Lefschetz fixed point Formula", Inv. Math. 111, 1993, 1-33.

Answer 4

Una gran cantidad de investigaciones recientes en topología algebraica, especialmente en teoría de homotopía estable, hacen uso esencial de perspectivas provenientes de la geometría algebraica. Esto ayuda especialmente en la conceptualización de resultados computacionales en el tema y la denominada "filtración cromática".

En lugar de que yo escriba extensamente, deberías ver la conferencia del ICM de Mike Hopkins para obtener una introducción legible a esta conexión.

Answer 5

Atiyah y Singer demostraron su famoso "teorema del índice" en topología utilizando ideas y métodos directamente inspirados por la prueba de Grothendieck de su enorme generalización del teorema de Riemann-Roch, una demostración que hace un uso prototípico de varios de los aspectos más nuevos de la geometría algebraica moderna (es decir, de Grothendieck), por ejemplo la insistencia en trabajar en una situación relativa en lugar de absoluta, es decir, para morfismos en lugar de simplemente para objetos.