Solo para aclarar la configuración: tienes una incrustación suave $f:S^1\to \mathbb{R}^3$ tal que $f(S^1)$ delimita un disco incrustado (esa es la definición de enlazado, y si $f(S^1)$ está en el plano $xy$ entonces el teorema de Schönflies en 2D da tal disco), y tienes un submango de dimensión $3$ simplemente conectado $M\subset \mathbb{R}^3$ con $f(S^1)\subset M$.
Vamos a asumir que $M$ es un subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^3$, lo que significa que es un submango con borde. Esto se cumple si $M$ es el cierre del resultado de eliminar submangos de codimensión $0$ de $\mathbb{R}^3$.
Añadamos una suposición adicional de que cada componente del borde de $M$ es compacta. ($M$ podría ser algo así como el vecindario regular de un árbol incrustado de $4$ ramas -- el grafo de Cayley del grupo libre de rango dos -- y el borde de esto es un $S^2$ infinitamente punteado.) El mango de Whitehead sugiere que podría haber dificultades con el caso no compacto, y el historial de ediciones de esta respuesta contiene un argumento incorrecto para el caso no compacto.
Aquí hay una caracterización de estos mangos:
Afirmación. Cada componente del borde compacta $\Sigma\subset \partial M$ es difeomorfa a $S^2$.
Prueba. Primero, nota que $\Sigma$ es orientable ya que tiene una orientación inducida de $M$. Si $\Sigma$ no es $S^2$, entonces el mapa inducido $\pi_1(\Sigma)\to \pi_1(M)$ tiene un núcleo no trivial ya que $M$ es simplemente conectado. Por el teorema del bucle hay un disco correctamente incrustado $(D^2,S^1)\to (M,\Sigma)$ (lo que significa que el disco se encuentra con el borde transversalmente) -- ver apuntes del Prof. Calegari. Sea $M'\subset M$ el resultado de recortar un vecindario tubular de este disco (es decir, comprimir el borde a lo largo del disco). Si $M'$ está desconectado, entonces $\pi_1(M)$ es un producto libre de los grupos fundamentales de cada componente por lo que cada componente es simplemente conectada, luego por inducción en el género de $\Sigma$ ambos lados después de la compresión son $S^2$, por lo que la $\Sigma$ recombinada es un $S^2$. Si $M'$ estuviera conectado, entonces nota que $M$ es homotópicamente equivalente a $M'\vee S^1$, lo que significaría que $\pi_1(M)\neq 0$, una contradicción. QED
Por el teorema de Alexander (también conocido como el teorema de Schönflies en 3D), cada una de estas componentes del borde delimita una bola incrustada en $\mathbb{R}^3$. Se puede deducir entonces que $M$ es $B^3$ menos bolas o $\mathbb{R}^3$ menos bolas, pero no lo usaremos. Solo considero importante saber con qué estamos tratando. De hecho, la afirmación se aplica a cualquier componente del borde compacto de cualquier mango de dimensión 3 simplemente conectado y orientado.
Ahora extiende el bucle original a un mapa $f:D^2\to \mathbb{R}^3$. Aunque todavía $f(S^1)\subset M$, podría o no ser el caso que $f(D^2)\subset M$. Mediante una pequeña isotopía, podemos asumir que $f$ se encuentra con $\partial M$ transversalmente.
Considera $f(D^2)\cap \partial M$, que es una colección de curvas simples cerradas, desde la perspectiva de $\partial M$. Toma una curva más interna $\gamma$, lo que significa que hay un disco $C\subset\partial M$ tal que $f(D^2)\cap C=\gamma$. Reemplaza la definición de $f$ en el interior de la curva $f^{-1}(\gamma)$ por $C$, y isotopea $f$ lejos de $C$ hacia el interior de $M$. Esto elimina al menos una curva de intersección en $f(D^2)\cap C$. Podemos continuar de forma inductiva eliminando curvas más internas hasta que no quede ninguna, dejándonos con una incrustación $f:D^2\to M$ con $f(S^1)$ la curva original, como se requería.
(Nota que se puede usar una variante de "media-vida, media-muerte" para argumentar que las fronteras de género $g>0$ tienen formas simplécticas no nulas de la inclusión en la primera homología.)
