¿Cuál es la fibra de la fibración del espacio de caminos?

Question

De manera esquemática, entiendo la fibración del espacio de trayectorias $PX$ sobre algún espacio topológico punteado y conexo por trayectorias $X$ con punto base $x_o$ como: $$\Omega X \hookrightarrow PX \twoheadrightarrow X,$$ donde la primera flecha es la inclusión y la segunda es el mapa de evaluación.

Si entendemos $PX$ como el espacio de trayectorias en $X$ (es decir, mapas continuos $p(t)$ del intervalo unitario a $X$, con $p(0) = x_o$), entonces parece que la definición natural de $\Omega X$ es el espacio de trayectorias $p(t)$ con $p(0) = p(1) = x_o$. Sin embargo, he encontrado afirmaciones contradictorias en varias fuentes:

• Esta pregunta de MSE dice que $\Omega X$ es el espacio que acabo de describir.
• El artículo de Wikipedia para fibración del espacio de trayectorias dice que $\Omega X$ es el espacio de bucles de $X$; el artículo de Wikipedia para espacio de bucles define ese espacio como el espacio de mapas punteados continuos de $S^1$ (con punto base) a $X$.
• Esta pregunta de MSE señala que el espacio de mapas punteados continuos de $S^1$ a $X$ no es lo mismo que el espacio de trayectorias en $X$ que comienzan y terminan en el mismo punto, lo cual creo que es correcto debido a que los elementos de este último pueden ser discontinuos en $x_o$ entre $t=1$ y $t=0$.

Habiéndome confundido por completo con todo lo que encontré en internet, recurrí a Hatcher, donde descubrí una discusión extensa y bastante densa sobre los espacios de bucles que requiere el uso de "productos reducidos de James," un concepto que no he encontrado antes en mis cursos. Esto me lleva a creer que tal vez toda la situación es más complicada de lo que pensaba inicialmente.

Mi pregunta es, ¿qué es $\Omega X$, y qué sutileza estoy pasando por alto que está causando la confusión descrita anteriormente?

Answer 1

La definición en tu pregunta es para espacios puntiagudos $(X,x_0)$. Más precisamente deberíamos escribir $P(X,x_0) = (X,x_0)^{(I,0)}$ = conjunto de todos los mapas que preservan el punto base $(I,0) \to (X,x_0)$ con la topología compacto-abierta para el espacio de caminos puntiagudos, $p : P(X,x_0) \to (X,x_0), p(u) = u(1)$, y $\Omega(X,x_0) = p^{-1}(x_0)$ para el espacio de lazos puntiagudos. Ambos tienen como punto base el camino constante en $x_0$. Luego $\Omega(X,x_0)$ es la fibra sobre el punto base $x_0 \in X$.

Puedes hacer una construcción análoga para espacios sin puntos base $X$:

$PX = X^I$ = conjunto de todos los mapas $I \to X$ con la topología compacto-abierta es el espacio de caminos libres. El mapa de evaluación $p : PX \to X, p(u) = u(1)$, es una fibración. Sus fibras son los conjuntos $p^{-1}(x) = \{u \in X^I \mid p(u) = u(1) = x \} =(X,x)^{(I,1)}$. Este último es homeomorfo a $P(X,x)$.

Una tercera construcción es el espacio de lazos libres de un espacio $X$:

$$\mathcal L X = X^{S^1} .$$

Se puede ver como la versión sin punto base de $\Omega (X,x_0)$. Existe una incrustación canónica $\iota : \Omega (X,x_0) \to \mathcal L X$: Cada $u \in \Omega (X,x_0)$ es un camino cerrado $u : I \to X$ tal que $p(0) = p(1) = x_0$ lo cual determina un único continuo $\hat u : I/\{0, 1\} \to X$ y mediante la identificación $I/\{0, 1\} = S^1$ esto nos da $\iota(u) \in \mathcal L X$.

Nota que esta construcción también permite identificar $\Omega (X,x_0)$ con $(X,x_0)^{(S^1,*)}$. De hecho, $\iota(\Omega (X,x_0)) = (X,x_0)^{(S^1,*)} \subset X^{S^1}$.