Integración en términos de una variable paramétrica

Question

Tengo una integral desafiante frente a mí, que ha evadido todo tipo de sustituciones y parece ser intratable para mí (P.D .: Soy un estudiante de secundaria). Aquí está:

$$\int_0^1 \frac{x^a-1}{\ln (x)}$$

Mi profesor dice que se puede resolver mediante el método de diferenciación. ¿Se refiere a la diferenciación bajo el signo integral (que solo he escuchado)? ¿Cómo abordo esta pregunta?

He intentado las sustituciones $x^a=t$ y luego $\ln (t)=u$ que ha llevado a una forma más compacta.

Answer 1

Este es uno de los ejemplos más comúnmente utilizados de diferenciación bajo el signo integral o el Truco de Feynman. Aquí, se diferencia con respecto a $a$ y eso te da inmediatamente una expresión fácil de integrar.

El motivo detrás de eso es porque cuando diferenciamos $f(z)=z^a$ con respecto a $a$, lo que queda es un logaritmo natural: $f'(z)=z^a\log z$. El término $\log z$ luego se puede cancelar con nuestro denominador, dejando algo trivial de tratar. Es decir, diferenciando se tiene$$I'(a)=\frac {\partial}{\partial a}\int\limits_0^1dx\,\frac {x^a-1}{\log x}=\int\limits_0^1dx\, x^a=\frac 1{a+1}$$Integrar la expresión de vuelta para recuperar $I(a)$ deja$$I(a)=\log(a+1)+C$$Ahora todo lo que tenemos que hacer es encontrar la constante $C$. Esto puede encontrarse fácilmente al encontrar un valor adecuado de $a$ para que $I(a)$ y $\log(a+1)$ puedan evaluarse fácilmente. Dejaré esto al OP si está interesado en terminar este problema. Aquí está la respuesta final, oculta en todo su esplendor

$$\int\limits_0^1dx\,\frac {x^a-1}{\log x}\color{blue}{=\log(a+1)}$$

Aquí hay un problema de práctica adicional (un poco más difícil, pero aún factible)$$I=\int\limits_0^{\infty}dx\,\frac {\log\left(\frac {1+x^{11}}{1+x^3}\right)}{(1+x^2)\log x}$$¡Cualquiera que lo resuelva podrá sentirse bien consigo mismo!