¿Se nos permite "aplanar" dominios en cálculo 3?

Question

Si estamos tomando el límite de alguna función digamos $f(x,y)=xy^{xy}$ como $(x,y) \to (a,b)$, ¿estamos autorizados a hacer la sustitución $u = xy$ y básicamente aplanar el dominio de 2D a 1D?

Es decir, ¿es válido hacer algo como esto?

$\lim_{(x,y)\to(0,b)}(xy)^{xy} = \lim_{u \to 0}u^u$

No estoy seguro de si estamos autorizados a hacer esto, porque hemos pasado de caminos infinitos de $x,y$ a solo dos posibles caminos de $u$ (porque ahora es 1D)

Answer 1

Sí. Esencialmente, lo que estás notando es lo siguiente. Podemos escribir $$g(u)=u^u$$ $$u(x,y)=xy$$ y luego $$f(x,y)=xy^{xy}=g(u(x,y))$$ esto es la composición de funciones continuas y podemos escribir $$\lim_{(x,y)\rightarrow (0,b)}g(u(x,y))$$ sin embargo, a lo largo de cualquier camino, la función interna tiene un límite de $u(0,b)$. Así que tenemos: $$\lim_{u\rightarrow u(0,b)}g(u)$$ que es lo que tienes. Es decir, estamos usando el hecho de que $(x,y)\mapsto xy$ es una función continua para mostrar que respeta toda la estructura necesaria para hacer tal sustitución.

Answer 2

Respuesta corta: no.

Respuesta larga: La declaración $\lim_{(x,y)\to (0,b)}$ implica que el límite existe y toma un valor único independientemente del camino elegido.

Al establecer $u=xy$, estás eligiendo una familia de caminos más pequeña. Por lo tanto, el límite podría existir en la familia más pequeña, pero no en la familia más grande.

Answer 3

En este caso, la respuesta es sí.

Porque $$ \begin{align} \left|\,xy\,\right| &\le\left|\,x(y-b)\,\right|+\left|b\right|\left|\,x\vphantom{b}\,\right|\\ &\le\frac12\left(x^2+(y-b)^2\right)+\left|b\right|\left(x^2+(y-b)^2\right)^{1/2}\tag{1} \end{align} $$ si $(x,y)$ está cerca de $(0,b)$, entonces $xy$ está cerca de $0$. Por lo tanto, $$ \lim_{u\to0}g(u)=L\implies\lim_{(x,y)\to(0,b)}g(xy)=L\tag{2} $$ En la pregunta, $f(x,y)=g(xy)$ donde $g(u)=u^u$. Aplicando $(2)$, obtenemos $$ \lim_{u\to0}g(0)=1\implies\lim_{(x,y)\to(0,b)}f(x,y)=\lim_{(x,y)\to(0,b)}g(xy)=1\tag{3} $$