Prueba de desigualdad absoluta

Question

Soy nueva en demostraciones y me gustaría un poco de ayuda para entender cómo probar la siguiente desigualdad de valores absolutos.

$$| -x-y | \leq |x| + |y|.$$

Creo que debería sacar el negativo de la función de valor absoluto izquierda. ¿Luego probar con la desigualdad del triángulo?

Answer 1

$$|-x-y| \leq |x| + |y|\\ |-1(x+y)| \leq |x| + |y|\\ |x+y||-1|\leq |x| + |y|\\ 1|x+y|\leq |x| + |y|\\ |x+y|\leq |x| + |y|$$ Creo que puedes seguir a partir de aquí siempre y cuando uses el hecho de que $|x| = \max(x, -x)$

Answer 2

Tenemos $\mid -x-y\mid = \mid -(x+y) \mid = \mid x+y \mid \leq \mid x \mid + \mid y \mid$. Para el paso menos usamos la desigualdad del triángulo. Suponiendo que trabajas en $\mathbb R$, mira aquí para una prueba: Prueba de la desigualdad del triángulo.