Significado de una secuencia perfecta de un gráfico

Question

Estoy leyendo "Modelos Gráficos" de Steffen L. Lauritzen y tengo dificultades para comprender el significado detrás del concepto de una secuencia perfecta. Así es como se define en el libro (página 14/15):

Dado un grafo no dirigido y marcado $\mathcal{G} = (V,E)$. Sean $B_1,\ldots,B_k$ una secuencia de subconjuntos del conjunto de vértices V. Sea $$H_j = B_1 \cup \ldots \cup B_j$$ $$R_j= B_j \backslash H_{j-1}$$ $$S_j = H_{j-1} \cap B_j$$ Se dice que la secuencia es perfecta si se cumplen las siguientes condiciones:

(i) para todo $i > 1$ existe un $j < i$ tal que $S_i \subseteq B_j$;

(ii) los conjuntos $S_i$ son completos para todo $i$;

(iii) para todo $i > 1$ tenemos $R_i \subseteq \Gamma$ o $S_1 \subseteq \Delta$

Aquí, $\Gamma$ y $\Delta$ son subconjuntos tales que $V = \Delta \cup \Gamma$ con $\Gamma \cap \Delta = \emptyset$, que representan variables cuantitativas y cualitativas, respectivamente (no creo que esto sea realmente relevante para mi pregunta, pero lo menciono por si acaso).

La cuestión es que puedo inventar un grafo simple y trabajar en un ejemplo, pero el significado detrás de esto no está claro para mí. ¿Qué se supone que significa una secuencia perfecta, intuitivamente? Además, ¿debo interpretar $R_1$ como $R_1 = B_1 \backslash H_0 = B_1 \backslash \emptyset = B_1$? Esto no se menciona en el libro.

Nota También he hecho esta pregunta en math.stackexchange.net pero pensé que, dado que los modelos gráficos están relacionados con la estadística, también preguntaría aquí. Si esto no encaja con los moderadores, siéntanse libres de cerrar esta pregunta.

Answer 1

Para responder a tu segunda pregunta: sí, esa es la definición correcta de $R_1$.

Para responder a tu pregunta más amplia: No estoy seguro de que haya una explicación más intuitiva de exactamente lo que es una secuencia perfecta. La definición dice que si existe una secuencia así para un grafo $\mathcal{G}$, entonces podemos descomponer $\mathcal{G}$ en una colección de subgrafos completos que se intersectan solo en subgrafos completos. Esto es deseable porque la teoría de probabilidad para el caso completo está bien estudiada, por lo que si existe tal descomposición, entonces hay una manera fácil de realizar, por ejemplo, la estimación de máxima verosimilitud en el modelo completo resolviendo el problema de estimación para cada uno de los cliques y luego combinando los resultados juntos usando los separadores (puedes pensar en esto como sumar los modelos de todos los subgrafos completos y restar la parte que ha sido contada doble, ya que cada separador está presente en dos cliques por definición).

Lauritzen también muestra que la definición de descomponibilidad anterior es equivalente a un grafo siendo cordal, es decir, que $\mathcal{G}$ no contiene un ciclo de longitud $\geq 4$ que no contenga ningún acorde. Esta definición hace obvio por inspección si un grafo es descomponible o no, pero no conduce a una manera fácil de resolver el problema de estimación de máxima verosimilitud, por lo que el concepto de secuencia perfecta a menudo es más útil a pesar de ser menos intuitivo.

Lo siento si esto no aclara nada; definitivamente no estás solo en encontrar este concepto confuso al principio. Si tienes alguna pregunta más específica, haré mi mejor esfuerzo para responderla.