Un límite inferior para $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a + x_i}$ con varianza dada

Question

¿Cuál es una cota inferior ajustada para $\sum_{i=1}^n \frac{1}{a + x_i}$ bajo las restricciones $\sum_{i=1}^n x_i = 0$ y $\sum_{i=1}^n x_i^2 = a^2$?

Conjetura: debido a la mayor pendiente de $\frac{1}{a + x}$ para $x$ negativos, se pueden mantener esos valores lo más pequeños posible. Así que tome $n-1$ valores $x_i = -q$ y $x_n = (n-1) q$ para compensar la primera condición. La segunda entonces da $a^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2 = q^2 ((n-1)^2 + n-1) = q^2 n (n-1)$. Por lo tanto,
$$\sum_{i=1}^n \frac{1}{a + x_i} \ge \frac{n-1}{a (1- 1/\sqrt{n(n-1)})} + \frac{1}{a (1+ (n-1)/\sqrt{n(n-1)})}$$ debería ser la cota inferior ajustada.

Answer 1

Sí, este es de hecho el valor mínimo (asumiendo $a>0$).

Denotemos $K=\{x\in\mathbb{R}^n\mid\sum_{k=1}^n x_k=0,\sum_{k=1}^n x_k^2=a^2\}$ y sea $f(x)=\sum_{k=1}^n(a+x_k)^{-1}$ alcanza su mínimo en $x=\bar{x}\in K$ (lo hace, como función continua en $\{x\in K\mid f(x)\leqslant f(0)\}$ que es compacto). Entonces, por el teorema de multiplicadores de Lagrange, existen $\lambda_1,\lambda_2\in\mathbb{R}$ tal que para cada $k$ tenemos $(a+\bar{x}_k)^{-2}=\lambda_1+\lambda_2\bar{x}_k$. Luego, los números positivos $y_k=a+\bar{x}_k$ son soluciones de $$y^2(\lambda_1-\lambda_2 a+\lambda_2 y)=1.$$ Pero esta ecuación tiene a lo sumo dos soluciones positivas. Por lo tanto, como mucho dos valores entre $\bar{x}_k$ son distintos, y de hecho exactamente dos. Entonces, supongamos que $m$ valores de $\bar{x}_k$ son iguales a $b>0$, donde $0, y los restantes$n-m$valores son iguales a$c<0$. Obtenemos un sistema para$b$y$c$, lo resolvemos, y finalmente obtenemos$$af(\bar{x})=n+\left(1-\frac1n+\frac{n-2m}{\sqrt{nm(n-m)}}\right)^{-1}.$$El valor mínimo posible de esto es con$m=1$.